维纳滤波课件

1第二章维纳过滤与卡尔曼过滤22.1引言问题的提出：在生产实践中，所观测到得信号都是受到噪声干扰的。如何最大限度地抑制噪声，将有用信号分离出来？滤波器：当信号与噪声同时输入时，在输出端能将信号尽可能精确地重现，而噪声受到最大抑制。维纳过滤与卡尔曼过滤就是一类从噪声中提取信号的方法。3()()()()()()mxnsnvnynhmxnm=+=-å+s(n)x(n)v(n)希望x(n)通过线性系统h(n)后得到的y(n)尽量接近s(n)，称y(n)为s(n)的估计值,用表示。ˆ()snˆ()()=ynsn这种线性系统h(.)称为对于s(n)的一种估计器。()()+snvn维纳滤波器输入－输出关系4()()()mynhmxnm=-å从当前和过去的观测值x(n),x(n-1),x(n-2),…x(n-m)估计当前的信号值称为过滤或滤波。ˆ()()ynsn=从过去的观测值x(n－1),x(n-2),…x(n-m)估计当前的或将来的信号值称为预测或外推。ˆ()()(0)ynsnNN=+?从过去的观测值x(n－1),x(n-2),…x(n-m)估计过去的信号值称为平滑或内插。ˆ()()(1)ynsnNN=-?维纳滤波与卡尔曼滤波被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计。最优是以估计结果与信号真值之间的误差的均方值最小为最佳准则。5最小均方误差信号的真值与估计值之间的误差e(n)ˆ()()()ensnsn=-e(n)为随机变量，可正可负，用其均方值表达误差较为合理。均方误差最小是指它的平方的统计平均值最小：22ˆ[()][()]EenEss=-最小维纳和卡尔曼滤波都是以均方误差最小为准则解决最佳线性过滤和预测问题。在平稳条件下它们的稳态结果一致。卡尔曼滤波可用于非平稳序列，因而应用更广泛。6维纳滤波是根据全部过去的和当前的观察数据来估计信号的当前值，它的解是以传函H(z)或单位冲激h(n)的形式给出。是通过卷积、相关求解的。适用于平稳系统（最佳线性过滤器）。卡尔曼滤波是用前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值，是用状态方程和递推的方法进行估计，解是以估计值形式给出的（线性最优估计器）。卡尔曼滤波比维纳滤波优越，计算方便，可用于平稳和非平稳随机过程、时变和非时变系统。卡尔曼滤波是在维纳滤波基础上发展的，是对最佳线性过滤问题的一种新的算法。维纳滤波的物理概念更清楚。72.2维纳滤波器的离散形式－时域解设计维纳滤波器过程是寻求在最小均方误差下滤波器的单位样本响应h(n)和传函H(z)的表达式，实质是解维纳－霍夫方程。在要求因果性（物理可实现性）条件下求解维纳－霍夫方程是一个典型的难题。ˆ()()()()mynsnhmxnm¥¥=-==-å因果系统：()00hnn=当0ˆ()()()()mynsnhmxnm¥===-å82.2.1维纳－霍夫方程（Wiener-Hopf）0ˆ()()()()mynsnhmxnm¥===-å221[()][(())]iiiEenEsnhx¥==-å均方误差最小原则要使均方差最小，将上式对各hi求偏导，并令其为零：12[()]0iijijEshxxex¥=-=E[]=0?å1j³1j³1ˆ()iiisnhx¥==å11(1)()(1)()iiimmihhihmxxnixnmü=+=-ïïïï=-=ýïï=-+=-ïïþ或正交性原理9满足正交性原理与满足最小均方差的条件是等价的，可通过正交性（上式）求解h(.)定义x的自相关函数和x与s的互相关函数为：[][]ijjxxijsxjExxEsxff@@0()()()xsoptxxmkhmkmff¥==-å0k³维纳－霍夫方程12[()]0jjiiijixsixxihEshxxff¥¥=1=ìï-=ïïïïíïï?=ïïïîåå1j³1j³11(1)()(1)()iiimmihhihmxxnixnmü=+=-ïïïï=-=ýïï=-+=-ïïþ或正交性原理的另一表达式10从维纳－霍夫方程中解出的h就是最小均方误差下的最佳。()opthn最小均方误差为：22min0[()][(()()())]optmEenEsnhmxnm¥==--å2000[()2()()()()()()()]optmoptoptmrEsnsnhmxnmhmxnmhrxnr¥ゥ====--+--å邋000(0)2()()()[()()]ssoptxsmoptoptxxmrhmmhmhrmrfff¥ゥ====-+-å邋2min0[()](0)()()ssoptxsmEenhmmff¥==-å0()()()xsoptxxmkhmkmff¥==-å维纳－霍夫方程112.2.2有限脉冲响应法求解维纳－霍夫方程0()()()0,1,2...xsoptxxmkhmkmkff¥==-=?å从维纳－霍夫方程中求出h，就是最小均方下的最优hopt。设h(n)是一个因果序列可以用有限长度为N的（h(n)是一个长度为N的FIR滤波器）序列逼近它。1010ˆ()()()()NmNmmynsnhmxnmHzhmz12当k＝0时，120110()()()()xxxxNxxxshhhNffff+++-=L当k＝1时，121021()()()()xxxxNxxxshhhNffff+++-=L当k＝N－1时，…121201()()()()xxxxNxxxshNhNhNffff-+-++=-L此时，Wiener-Hopf方程可表述为：10012()()(),,,...Nxsoptxxmkhmkmkff-==-=å13定义：12(0)(0)(1)(1)[]](1)(1)xsxsxsxsNhhhhhNhhNffff[MMM轾轾轾犏犏犏犏犏犏犏犏犏===犏犏犏犏犏犏犏犏犏--犏犏犏臌臌臌(0)(1)(1)(1)(0)(2)](1)(2)(0)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxNNNNffffffffff[LLMMML轾-犏犏-犏=犏犏犏--犏臌写成矩阵形式：[][][]xsxxhff=对上式求逆：1[][][][]xxxsopthhff-==待求的单位脉冲响应互相关序列自相关矩阵14求得后，这时的最小均方误差为：()opthn12min0[()](0)()()NssoptxsmEenhmmff-==-å信号s(n)与噪声v(n)不相关时的维纳－霍夫方程与最小均方差()()0svvsmmff==10012()()(),,,...Nxsoptxxmkhmkmkff-==-=å12min0[()](0)()()NssoptxsmEenhmmff-==-å信号s(n)与噪声v(n)不相关15所以：12min0[()](0)()()NssoptssmEenhmmff-==-å则：()[()()][()()()())]()xsssmExnsnmEsnsnmvnsnmmff=+=+++=()[(()())(()())]()()xxssvvmEsnvnsnmvnmmmfff=++++=+10012()()[()(),,,...Nssoptssvvmkhmkmkmkfff-==-+-],=å16当已知信号和观测数据的互相关函数及观测数据的自相关函数时，可通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波的最优解。结论：从时域求解因果的维纳滤波器，若选择的滤波器长度N较大时，计算工作量大，且需计算的逆矩阵，要求存储量大。xxf因此，从时域求解（有限冲激响应的FIR滤波器实现）维纳滤波器，并不是一个有效的方法。如果在计算中增加h(n)的长度N来提高逼近精度时，需要在新的N基础上重新进行计算。17例2.1解：由题知信号的自相关与噪声的自相关为:()0.6,()()msswwmmmffd==代入维纳－霍夫方程得:012(0)0.6(1)10.60.6(0)2(1)khhkhh==+==+求出:h(0)=0.451，h(1)=0.165最小均方误差为：12min0[()](0)()()(0)0.6(1)0.45ssoptssmEenhmmhhff=1-==--=å若要进一步减小误差可适当增加滤波器阶数，但计算量会增大。因此，用有限FIR滤波器实现最小方差准则得维纳滤波器并不是有效的方法。182.3维纳滤波器的离散形式－Z域解维纳－霍夫方程在有因果约束条件时不能直接转入Z域求解，使得求解维纳－霍夫方程十分困难。本节将利用把x(n)加以白化的方法来求维纳－霍夫方程的Z域解。19信号模型：任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白噪声激励一物理网络所形成。()wn白噪声的自相关函数和功率谱密度为：()wn22()()()==()()()xnsnvn=+21()()()xxwzBzBzsF-=B(z)是x(n)的形成网络的传函21ss()()()wzAzAzsF-=1－66s(n)的信号模型x(n)的信号模型维纳滤波器输入－输出的信号模型2021()()()xxwzBzBzsF-=如果是在单位圆内()的一对共轭极点（零点），则必是单位圆外一对相应的极点（零点）。11,21jzrew±=()xxzF11r11,21/jzerw=m令B(z)是由圆内的零极点组成，则B(z-1)是由相应的圆外的零极点组成。一个稳定因果系统，其收敛域为，即H(z)的全部极点应落在单位圆内。因此B(z)是因果且最小相位系统，1/B(z)也是因果最小相位系统。1z³()()()XzBzWz=1()()()WzXzBz=可利用该式对x(n)进行白化21利用白化x(n)的方法来求解维纳－霍夫方程求解步骤：对观测信号的自相关函数求z变换得。利用等式，找到最小相位系统B(z)。利用均方误差最小原则求解G(z)。H(z)=G(z)/B(z)，得到维纳－霍夫方程的系统函数解。()xn()xxmf()xxzf21()()()xxwzBzBzsF-=222.3.1非因果的维纳滤波器求解ˆ()()()()()ksngkwnkgkGz222[()][(()()())][()2()()()()()()()]kkkrEenEsngkwnkEsngkwnksngkgrwnkwnr232[()](0)ssEsnf2[()()()2()[()()]2()()kwskEgkwnksngkEwnksngkkf22[()()()()]()()[()()]()()()()krkr24222222[()](0)2()()()()()(0)(())sswswkwswssswkkwwEengkkgkkkgkffsfffsss()()0wswoptwkgkkfss2()()wsoptwkgkkfs21()()wswGzzsF2()()1()()()wsoptwzGzHzBzBzsF1()()()xswszzBzFF21()1()()()xsoptwzHzBzBzsF相关－卷积定理证明25所以21()()1()()()()xsxsoptwxxzzHzBzBzzsFF=F假定信号s(n)与噪声v(n)不相关，即对任何m有[()()]0Esnvnm()[()()][(()())()]()xsssmExnsnmEsnvnsnmmff()[()()]()()xxssvvmExnxnmmmfff()()()()()()xsssoptxxssvvzzHzzzzFF=FFF因此，非因果维纳滤波器的频率特性为()()()()()()()jjssssoptjjssvvssvvePHeeePP26()()()()()()()jjssssoptjjssvvssvvePHeeePP