随机抽样

第三章由已知分布的随机抽样1.随机抽样及其特点2.直接抽样方法3.挑选抽样方法4.复合抽样方法5.复合挑选抽样方法6.替换抽样方法7.随机抽样的一般方法8.随机抽样的其它方法作业第三章由已知分布的随机抽样本章叙述由己知分布抽样的各主要方法，并给出在粒子输运问题中经常用到的具体实例。1.随机抽样及其特点由巳知分布的随机抽样指的是由己知分布的总体中抽取简单子样。随机数序列是由单位均匀分布的总体中抽取的简单子样，属于一种特殊的由已知分布的随机抽样问题。本章所叙述的由任意已知分布中抽取简单子样，是在假设随机数为已知量的前提下，使用严格的数学方法产生的。为方便起见，用XF表示由己知分布F(x)中产生的简单子样的个体。对于连续型分布，常用分布密度函数f(x)表示总体的己知分布，用Xf表示由己知分布密度函数f(x)产生的简单子样的个体。另外，在抽样过程中用到的伪随机数均称随机数。2.直接抽样方法对于任意给定的分布函数F(x)，直接抽样方法如下：其中，ξ1，ξ2，…，ξN为随机数序列。为方便起见，将上式简化为：若不加特殊说明，今后将总用这种类似的简化形式表示，ξ总表示随机数。NntXntFn,,2,1,inf)(tXtFF)(inf证明下面证明用前面介绍的方法所确定的随机变量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。对于任意的n成立，因此随机变量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。另外，由于随机数序列ξ1，ξ2，…，ξN是相互独立的，而直接抽样公式所确定的函数是波雷尔（Borel）可测的，因此，由它所确定的X1，X2，…，XN也是相互独立的（[P.R.Halmos,Measuretheory,N.Y.VonNosrtand,1950]§45定理2）。)())(()inf()()()(xFxFPxtPxXPxFntFnXnn1)离散型分布的直接抽样方法对于任意离散型分布：其中x1，x2，…为离散型分布函数的跳跃点，P1，P2，…为相应的概率，根据前述直接抽样法，有离散型分布的直接抽样方法如下：该结果表明，为了实现由任意离散型分布的随机抽样，直接抽样方法是非常理想的。xxiiPxF)(I1ii1I1iiPP,＝－＝当IFxX例1.二项分布的抽样二项分布为离散型分布，其概率函数为：其中，P为概率。对该分布的直接抽样方法如下：nNnnNnPPCPnxP)1()(n0ii1n0iiPP,＝－＝当nXF例2.泊松(Possion)分布的抽样泊松(Possion)分布为离散型分布，其概率函数为：其中，λ0。对该分布的直接抽样方法如下：!)(nePnxPnnn0ii1n0iii!i!,＝－＝当enXF例3.掷骰子点数的抽样掷骰子点数X=n的概率为：选取随机数ξ，如则在等概率的情况下，可使用如下更简单的方法：其中［］表示取整数。61)(nXP661nnnXF1]6[FX例4.碰撞核种类的确定中子或光子在介质中发生碰撞时，如介质是由多种元素组成，需要确定碰撞核的种类。假定介质中每种核的宏观总截面分别为Σ1，Σ2，…，Σn，则中子或光子与每种核碰撞的概率分别为：其中Σt＝Σ1＋Σ2＋…＋Σn。碰撞核种类的确定方法为：产生一个随机数ξ，如果则中子或光子与第I种核发生碰撞。niPtii,,2,1I1ii1I1iiPP＝－＝例5.中子与核的反应类型的确定假设中子与核的反应类型有如下几种:弹性散射，非弹性散射，裂变，吸收，相应的反应截面分别为Σel，Σin，Σf，Σa。则发生每一种反应类型的概率依次为：其中反应总截面Σt＝Σel＋Σin＋Σf＋Σa。taatfftinintelelPPPP反应类型的确定方法为：产生一个随机数ξ收吸裂变非弹性散射弹性散射finelinelelPPPPPP2)连续型分布的直接抽样方法对于连续型分布，如果分布函数F(x)的反函数F－1(x)存在，则直接抽样方法是：)(1FXF例6.在［a，b］上均匀分布的抽样在［a，b］上均匀分布的分布函数为：则bxbxaabaxaxxF当当当10)()(abaXF例7.β分布β分布为连续型分布，作为它的一个特例是：其分布函数为：则FX10,2)()(20xxtdtdttfxFxx10,2)(xxxf例8.指数分布指数分布为连续型分布，其一般形式如下：其分布函数为：则因为1－ξ也是随机数，可将上式简化为0,1)()(0xedteadttfxFaxxatx0,)(xeaxfax)1ln(1aXFln1aXF连续性分布函数的直接抽样方法对于分布函数的反函数存在且容易实现的情况，使用起来是很方便的。但是对于以下几种情况，直接抽样法是不合适的。1)分布函数无法用解析形式给出，因而其反函数也无法给出。2)分布函数可以给出其解析形式，但是反函数给不出来。3)分布函数即使能够给出反函数，但运算量很大。下面叙述的挑选抽样方法是克服这些困难的比较好的方法。3.挑选抽样方法为了实现从己知分布密度函数f(x)抽样，选取与f(x)取值范围相同的分布密度函数h(x)，如果则挑选抽样方法为：)()(supxhxfMxhfhhXXXhMXf)()(即从h(x)中抽样xh，以的概率接受它。下面证明xf服从分布密度函数f(x)。证明：对于任意x)()(hhxhMxf)()()()(,)()()(hhhhhhhhfXhMXfPXhMXfdxxXxPXhMXfdxxXxPdxxXxPdxxfdXXfdXXfdXXhXhMXfdXXhXhMXfddXXhddXXhhhdxxxhhhhhhdxxxhhhhXhMXfhhdxxxXhMXfhhhhhh)()()()()()()()()()()()()(0)()(0使用挑选抽样方法时，要注意以下两点：选取h(x)时要使得h(x)容易抽样且M的值要尽量小。因为M小能提高抽样效率。抽样效率是指在挑选抽样方法中进行挑选时被选中的概率。按此定义，该方法的抽样效率E为：所以，M越小，抽样效率越高。MdXXhXhMXfXhMXfPEhhhhhh1)()()()()(当f(x)在［0，1］上定义时，取h(x)=1，Xh=ξ，此时挑选抽样方法为)(sup10xfMxfXMf)(例9.圆内均匀分布抽样令圆半径为R0，点到圆心的距离为r，则r的分布密度函数为分布函数为容易知道，该分布的直接抽样方法是其它当002)(020RrRrrf202)(RrrF0Rrf由于开方运算在计算机上很费时间，该方法不是好方法。下面使用挑选抽样方法：取则抽样框图为00022)()(1)(RrMRrrhrfRrhh，，，＞2021Rrf≤显然，没有必要舍弃ξ1＞ξ2的情况，此时，只需取就可以了，亦即另一方面，也可证明与具有相同的分布。10Rrf),max(210Rrf),max(212)(rrF4.复合抽样方法在实际问题中，经常有这样的随机变量，它服从的分布与一个参数有关，而该参数也是一个服从确定分布的随机变量，称这样的随机变量服从复合分布。例如，分布密度函数是一个复合分布。其中Pn≥0，n=1，2，…，且fn(x)为与参数n有关的分布密度函数，n=1，2，…，参数n服从如下分布1)()(nnnxfPxf11nnPynnPyF)(复合分布的一般形式为：其中f2(x/y)表示与参数y有关的条件分布密度函数，F1(y)表示分布函数。复合分布的抽样方法为:首先由分布函数F1(y)或分布密度函数f1(y)中抽样YF1或Yf1，然后再由分布密度函数f2(x/YF1)中抽样确定Xf2(x/YF)证明：所以，Xf所服从的分布为f(x)。)()()(12ydFyxfxf)/(12FYxffXXdxxfYdxdFYxfdxxXxpdxxXxpFYxff)()()()()(12)/(12例10.指数函数分布的抽样指数函数分布的一般形式为：引入如下两个分布密度函数：其它当00)(1xdyyenxEnxyn其它当其它当00)(01)(211xeyyxfyynyfxyn则使用复合抽样方法，首先从f1(y)中抽取y再由f2(x/YF1)中抽取x112)()()(dyyfyxfxEn),,,max(11211nnfY1211ln),,,max(ln1nnfnfYX5.复合挑选抽样方法考虑另一种形式的复合分布如下：其中0≤H(x,y)≤M，f2(x/y)表示与参数y有关的条件分布密度函数，F1(y)表示分布函数。抽样方法如下：)()(),()(12ydFyxfyxHxf)/()/(12112),(FFYxffFYxfXXMYXH证明：抽样效率为：E=1/MdxxfdxydFyxfyxHydxdFyxfMyxHydxdFyxfMyxHdydxdFyxfdydxdFyxfMYXHPMYXHdxxXxPMYXHdxxXxPdxxXxPdxxxMyxHdxxxMyxHFfFffFfff)()()(),()()(),()()(),()()()()(),(),(,),()(121212),(012),(01212122122为了实现某个复杂的随机变量y的抽样，将其表示成若干个简单的随机变量x1，x2，…，xn的函数得到x1，x2，…，xn的抽样后，即可确定y的抽样，这种方法叫作替换法抽样。即6.替换抽样方法),,,(21nxxxgy),,,(21nfXXXgY例11.散射方位角余弦分布的抽样散射方位角φ在［0,2π］上均匀分布，则其正弦和余弦sinφ和cosφ服从如下分布：直接抽样方法为：其它当011111)(2xxxf2coscos2sinsin令φ=2θ，则θ在［0,π］上均匀分布，作变换其中0≤ρ≤1，0≤ρ≤π，则(x,y)表示上半个单位圆内的点。如果(x,y)在上半个单位圆内均匀分布，则θ在［0,π］上均匀分布，由于sincosyx2222sincosyxyyxx222222222cossin22sinsinsincos2coscosyxxyyxyx因此抽样sinφ和cosφ的问题就变成在上半个单位圆内均匀抽样(x,y)的问题。为获得上半个单位圆内的均匀点，采用挑选法，在上半个单位圆的外切矩形内均匀投点（如图）。舍弃圆外的点，余下的就是所要求的点。抽样方法为：抽样效率E=π/4≈0.78521yx2221212221222122212sin,cos1为实现散射方位角余弦分布抽样，最重要的是在上半个单位圆内产生均匀分布点。下面这种方法，首先在单位圆的半个外切正六边形内产生均匀分布点，如图所示。于是便有了抽样效率更高的抽样方法：抽样效率222121222122212221221121332sin,33cos131,123≤906.032E例12.正