高三总复习导数――专题总结归纳

历年高考题型总结及详解——倒数内容简介：1.有关倒数考试方向及常考点.2.常考点方法总结及名师点拨.3.2014——2016各地历年高考题及解析.4.名校有关模拟题——母题.【命题意图】导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据.分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧.因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力.【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想.含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一.这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等.【得分要点】1.研究函数单调区间，实质研究函数极值问题.分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏.2.求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间.3.讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.4.含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：(1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论.5.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数)(xf的定义域(定义域优先)；(2)求导函数()fx；(3)在函数)(xf的定义域内求不等式()0fx或()0fx的解集．(4)由()0fx（()0fx）的解集确定函数)(xf的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．6．由函数)(xf在(,)ab上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0fx(或()0fx)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．7.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．8.函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用.9.导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．10.函数的单调性问题与导数的关系（1）函数的单调性与导数的关系：设函数()yfx在某个区间内可导，若()0fx，则()fx为增函数；若/()0fx，则()fx为减函数.（2）用导数函数求单调区间方法求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；(3)已知在某个区间上的单调性求参数问题先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.（4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集.11.函数的极值与导数（1）函数极值的概念设函数()yfx在0x附近有定义，若对0x附近的所有点，都有0()()fxfx，则称0()fx是函数()fx的一个极大值，记作y极大值=0()fx；设函数()yfx在0x附近有定义，若对0x附近的所有点，都有0()()fxfx，则称0()fx是函数()fx的一个极小值，记作y极小值=0()fx.注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极小值;极值点不能在函数端点处取.（2）函数极值与导数的关系当函数()yfx在0x处连续时，若在0x附近的左侧/()0fx，右侧/()0fx，那么0()fx是极大值；若在0x附近的左侧/()0fx，右侧/()0fx，那么0()fx是极小值.注意：①在导数为0的点不一定是极值点，如函数3yx，导数为/23yx，在0x处导数为0，但不是极值点；②极值点导数不定为0，如函数||yx在0x的左侧是减函数，右侧是增函数，在0x处取极小值，但在0x处的左导数0(0)(0)limxxx=-1，有导数0(0)(0)limxxx=1，在0x处的导数不存在.（3）函数的极值问题①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；②已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围.12.最值问题（1）最值的概念对函数()yfx有函数值0()fx使对定义域内任意x，都有()fx0()fx（()fx0()fx）则称0()fx是函数()yfx的最大（小）值.注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值.②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值.（2）函数最问题①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式()fx≤（≥）()ga（x是自变量，a是参数）恒成立问题，()ga≥max()fx（≤min()fx），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系.1.(2016高考山东理数)已知221()ln,Rxfxaxxax.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（II）略考点：应用导数研究函数的单调性【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.2.(2016高考天津理数)设函数3()(1)fxxaxb,Rx，其中Rba,（Ⅰ）求)(xf的单调区间；(II)略；（Ⅲ）略错误!未找到引用源。.【答案】（Ⅰ）当0a时，单调递增区间为),(；当0a时，单调递减区间为)331,331(aa，单调递增区间为)331,(a，),331(a.【解析】（Ⅰ）解：由baxxxf3)1()(，可得axxf2)1(3)('.下面分两种情况讨论：【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数)(xf的定义域(定义域优先)；(2)求导函数()fx；(3)在函数)(xf的定义域内求不等式()0fx或()0fx的解集．(4)由()0fx（()0fx）的解集确定函数)(xf的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数)(xf在(,)ab上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0fx(或()0fx)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．2016高考真题及名校模拟题——母题【母题1】(Ⅰ)讨论函数xx2f(x)x2e的单调性，并证明当0x时，(2)20xxex；(Ⅱ)证明：当[0,1)a时，函数2x=(0)xeaxagxx（）有最小值.设()gx的最小值为()ha，求函数()ha的值域．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21(,].24e.考点：函数的单调性、极值与最值.【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．【母题2】设函数()axfxxebx，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为(1)4yex，（1）求a，b的值；（2）求()fx的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a，be；（2）)(xf的单调递增区间为(,).【解析】（1）因为bxxexfxa)(，所以bexxfxa)1()(.依题设，,1)2(,22)2(efef即,1,222222ebeebeaa解得eba,2；（2）由（Ⅰ）知exxexfx2)(.由)1()(12xxexexf即02xe知，)(xf与11xex同号.令11)(xexxg，则11)(xexg.所以，当)1,(x时，0)(xg，)(xg在区间)1,(上单调递减；当),1(x时，0)(xg，)(xg在区间),1(上单调递增.故1)1