电子科技大学-随机过程-覃思义-第五章sjgc5.2

电子科技大学§5.2平稳过程的自相关函数一、平稳过程自相关函数的性质复平稳过程{X(t),t∈T}的自相关函数RX(τ),有如下性质：定理5.2.1;0])([)0()12tXER);0()()2XXRR;)()()3XXRR));0()((XXCC电子科技大学4)非负定性,,,,11Tttnn对及复数α1,α2,…,αn有njkjkXkjttR1,.0)(证明;0})({})()({)0()12tXEtXtXERX2）由许瓦兹不等式222))()((),()(tXtXEttRRXX);0(])([])([222XRtXEtXE电子科技大学)]()([])()([)()3tXtXEtXtXERX);(]))(()([XRtXtXEnjkjkXkjttR1,)()4njkkjkjtXtXE1,])()([njkkjkjtXtXE1,])()([0])([21nkkktXE电子科技大学实平稳过程{X(t),t∈T}的RX(τ)有:推论1;0)0()1R);0()()2XXRR);()()3XXRR4)具有非负定性.0T－T1RX(τ)随机二元传输随机电报信号电子科技大学Ex.1讨论随机过程{X(t),t≥0}是否为平稳过程，其中X(t)=sinωt,ω在[0,2π]上服从均匀分布.解R(s,t)=E(X(s)X(t))2021sinsintdsstststst)(2sin)(2sin41R(s,t)不是关于s－t的偶函数,故实随机过程{X(t),t≥0}不是平稳过程.电子科技大学定理5.2.2如果{X(t),t∈T}是周期为L的周期平稳过程,即有P{X(t+L)=X(t)}=1，则RX(τ)也是周期函数,有R(t+L)=R(t).证,1)}()()({2tXtXLtXP.1}0)()()({2tXtXLtXP,0)}()()({2tXtXLtXERX(L)=RX(0).RX(t+L)=RX(t).电子科技大学Ex.2设平稳过程X(t)的相关函数为RX(τ),且RX(L)=RX(0),L为一个常数,L0,试证：X(t+L)=X(t)依概率为1成立；定理5.2.2的逆证因由切比雪夫不等式，对,0,0)()0(LRRXX22)()(})()({tXLtXEtXLtXP,0)]()0([22LRRXX,0)}()({tXLtXP电子科技大学定理5.2.3实平稳过程{X(t),t∈T}均方连续的充要条件是相关函数RX(τ)在处连续,且此时RX(τ)处处连续.证必要性设RX(τ)在τ=0处连续,则0,tT对00lim()(0),XXttRttR20[()()]EXtXt00{[()()][()()]}EXtXtXtXt0000[()()][()()][()()][()()]EXtXtEXtXtEXtXtEXtXtτ=0电子科技大学02[(0)()]0,XXRRtt0().astt即X(t)在T上均方连续.充分性若X(t)在t=t0处均方连续,有0])()([lim200tXtXEtt在上式,令τ=t－t0，可得,0)]()0([lim0XXRR即RX(τ)在τ=0处连续.任意性,0对任意电子科技大学20)()(XXRR20]})()()[({tXtXtXE])()([])([202tXtXEtXE],)()([)0(202tXtXERX由于X(t)在t+0处均方连续,有020lim[()()]0EXtXt00lim()()XXRR由τ0的任意性知RX(τ)处处连续.电子科技大学Ex.3随机电报信号的自相关函数22()RCe在τ=0处连续,从而R(τ)在(-∞,∞)上连续.()0()(1),0,NtXtXt故随机电报信号过程{X(t),t≥0}是均方连续,均方可积的.电子科技大学Ex.4{X(t),t≥0}为均方可微的实宽平稳过程，试验证TtdttdXtY,)()(也是实宽平稳过程.证因二阶矩过程的导数过程也是二阶矩过程,有TttXEtYE,])([)]([22{Y(t),t∈T}是二阶矩过程.电子科技大学0)]([)]([)]([dttXdEtXEtYE)()]()([),(122122121ttRtttXtXEttRXY)()()(12121212ttRttRttRtYXX故{Y(t),t∈T}也是实宽平稳过程.电子科技大学定理5.2.4对于平稳过程XT={X(t),t∈T}1)XT均方可微的充要条件是RX(τ)在τ=0处二次可微;2）XT均方可微,其均方导数过程仍为平稳过程,有,0)(tmX相关函数).()(XXRR均值函数证1)由均方可微准则,XT均方可微相关函数R(s,t)在(t0,t0)处广义二阶可微,即电子科技大学00000000001lim[(,)(,)(,)(,)]tsRtttsRttttsRttsRtt001lim[()()()(0)]tsRstRtRsRts存在.平稳性2）设XT={X(t),t∈T}均方可导,则0)()]([)]([)('XXmdtdtXEdtdtXEtm电子科技大学)(])()([),(2stRsttXsXEtsRXX)()()(XXXRstRstRs.}),({是平稳过程TttX续Ex.3随机电报信号的自相关函数22'(0)2,'(0)2XXRCRC有(0)XR不存在不存在)0(XR22)(eCR随机电报信号{X(t),t≥0}均方不可导.电子科技大学Ex.5设实平稳过程{X(t),t∈T}的相关函数为)1(Ae0A其中、均为常数，，求dttdXtY)()(的相关函数.解当τ≠0，)()(XYRR);(32Ae}])()(l.i.m{[})]({[)0(202ttXttXEtYERtY电子科技大学.)()]()0([2lim220AttRRXXt左右导数存在并相等设{X(t),t∈T}是均方可微的实平稳过程,推论1.)()(,不相关与则对tXtXTt证{X(t),t∈T}是实平稳过程)0(),()()(XXRttRttXtXE)()()()(XXXXRRRR又因，特别0)0()0()0(XXXRRR电子科技大学.)()(0)()(不相关与即，tXtXtXtXE{X(t),t∈T}是均方可微的实正态平稳过程,推论2.)()(,相互独立与则对tXtXTt定理5.2.5设{X(t),t∈T}是均方连续的平稳过程,则在有限区间上,均方积分badttX)(存在,且有babaXbabadsdtstRdttXdssXE)(])()([电子科技大学特别若{X(t),t∈T}是实平稳过程,则);(])([)1abmdttXEXbaabbadRabdttXE02.)(])[(2])([)2证由均方可积准则及过程的平稳性可得babaXbabadsdtstRdttXdssXE)(])()([当{X(t),t∈T}是实平稳过程,)]([是常数XmtXE,)(),(是偶函数XXRtsR电子科技大学);(])([)1abmdtmdttXEXbaXba故2])([)2badttXEbabadsdtstR)(做积分变换，令sts2110111J则},),{(btabsatsD将变换为},),{(121121babaG电子科技大学0abτ2τ1b21a21},),{(121121babaG2])([badttXEbabadsdtstR)(212)(ddRG电子科技大学0abτ2τ1a－bb－ab21a21abbababaddRddR0122012222)()(212)(ddRG电子科技大学abbadRabdRab02220222)(])[()(])[(abdRab0)(])[(2abbababaddRddR0122012222)()(abbadRabdttXE02.)(])[(2])([重要公式:电子科技大学Ex.6设实平稳过程{X(t),t∈T}的相关函数为RX(τ)，均值函数为0，若dttXtYt0)()(求Y(t)的自协方差函数和方差.解0()0(0)0;tYXmtmdtt),(),(tsRtsCYY;)(00stduvuRdv),(),()]([ttRttCtYDYYttduvuRdv00)(02(||)().tXtRd电子科技大学二、联合平稳过程的互相关函数实用中需同时研究多个关联随机过程的统计规律.系统输入信号噪声输出信号要从输出中检测出有用信号，需同时研究输入信号和噪声的联合统计特性.电子科技大学Ex.6设X(t)是雷达的发射信号,遇到目标后的回波信号是aX(t－b),ab,b是信号返回时间,回波信号必然伴有噪音.记噪音为N(t),则接受机收到的全信号为Y(t)=aX(t－b)+N(t),需考虑X(t)与N(t)的联合统计特性.又如{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}都是平稳过程,问{Z(t)=X(t)+Y(t),t∈T}是否是平稳过程?电子科技大学定义5.2.1称平稳过程{X(t),t∈T}和平稳过程{Y(t),t∈T}为联合平稳的(平稳相关),若对任意τ,).,(),(tsRtsRXYXY).,(])()([])()([),(tsRtYsXEtYsXEtsRXYXY即互相关函数仅与(t－s)的大小有关.可将联合平稳过程的互相关函数定义为(,)[()()]XYRttEXtYt电子科技大学Ex.7设{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}是平稳相关的平稳过程,讨论{Z(t)=X(t)+Y(t),t∈T}的平稳性.解;)]()([)(YXZmmtYtXEtm])()([),(tZtZEttRZ})]()([)]()({[tYtXtYtXE)()()()(YYXXYXRRRR故{Z(t),t∈T}是平稳过程.电子科技大学平稳相关的平稳过程的互相关函数RXY(τ)有下性质：定理5.2.6,)()()1YXXYRR当X(t)与Y(t)均为实平稳过程,则).()(YXXYRR);0()0()(),0()0()()222YXYXYXXYRRRRRR3)对任意复常数,b,X(t)+bY(t)也是平稳过程,且其相关函数满足电子科技大学)()()()()(22bbbbYYXXYXYXRRRRREx.8设X(t)与Y(t)均为实平稳随机过程，且二者相互独立，令),()(2)(),()()(tYtXtWtYtXtZ试求RX(τ)与RW(τ).解因X(t)与Y(t)相互独立，有电子科技大学])()()()([),(tYtXtYtXEttRZ])()([])()([