电子科技大学-随机过程-覃思义-第五章sjgc5.3

电子科技大学§5.3平稳过程的各态历经性一、问题背景1）在何种条件下,可以依据平稳过程的一条现实建立有效描述过程的数学模型？2）实际问题中常需确定随机过程的数学期望和方差、相关函数；如飞机在高空飞行，受湍流影响产生机翼震动，需考虑机翼振幅大小的均值与方差.电子科技大学电路中电子不规则运动引起的热噪声(电位的脉动).考虑脉动范围,噪声功率等归结为求过程的方差,相关系数.2）对实际动态数据进行零均值化,如何从数据得到均值函数？3）困难在于需知道过程的一、二维分布.4）设想用试验法解决.电子科技大学设想研究平稳过程{X(t),t∈T}，X(t1,ω)X(t,ω1)X(t,ω2)X(t,ω3)t1tn+τX(tn+τ,ω)进行足够多次的试验，得到样本函数族电子科技大学})),,(,),,(),,({(21Tttxtxtxn根据大数定律，对固定t1∈T，可令,)(1)(ˆ111nkkXtxntm1111ˆ()()(),nXkkkRxtxtn缺点1)需要很大n,实际工程中难以实现.统计平均2)过程具有不可重复性.电子科技大学Ex.1下面的数据是某城市1991~1996年中每个季度的民用煤消耗量（单位：吨）电子科技大学民用煤消耗量数据散布图年平均曲线数据曲线电子科技大学能否用一条样本函数去估计随机过程的数字特征？问题即能否用时间轴上的均值TTdttxT)(21近似估计E{X(t)}、R()?时间平均？过程满足一定条件时可行.1()()2TTxtxtdtT电子科技大学二、平稳过程的各态历经性定义5.3.1设{X(t),t∈(－∞,+∞)}是平稳过程，若均方极限TTTdttXT)(21l.i.mˆ)(tX存在,称为X(t)在(－∞,+∞)上的时间平均.二次均方极限对于固定的τ，均方极限ˆ)()(tXtX1l.i.m()()2TTTXtXtdtT二次均方极限存在,称为X(t)在(－∞,+∞)上的时间相关函数.电子科技大学注1应保证{X(t),t∈R}在任意有限区间上均方可积.(均方连续是充分条件).时间相关函数是随机过程.()()XtXt注2时间平均是随机变量,)(tX参数为τ平稳随机过程的均值函数是常数，相关函数R(τ)是普通函数.电子科技大学Ex.1设X(t)=Y,t∈(－∞,+∞),且D(Y)≠0,D(Y)+∞.计算X(t)的时间平均和时间相关函数TTTdttXTtX)(21l.i.m)(TTTYYdtT21l.i.m)()(tXtX1l.i.m()()2TTTXtXtdtT21l.i.m2TTTYYdtYT解X(t)是平稳过程.电子科技大学Ex.2设),(),cos()(0ttatXa,ω0是实常数,Θ～U(0,2π),计算X(t)的时间平均和时间相关函数.TTTdttaTtX)cos(21l.i.m)(0,cos2)(,002aRmXX因{X(t),t∈(-∞,+∞)}是平稳过程.解TTTdtttTa)sinsincos(cos2l.i.m00电子科技大学00l.i.m[coscossinsin]2TTTTTatdttdtT,0sincosl.i.m00TTaT)()(tXtX200l.i.mcos()cos[()]2TTTattdtT2000l.i.m[cos(22)cos]4TTTatdtT02cos21a电子科技大学定义5.3.2设{X(t),t∈(－∞,+∞)}是平稳过程,1})({)1XmtXP若称X(t)的均值具有各态历经性(均方遍历性).()2){()()}1XPXtXtR若任意，称X(t)的相关函数具有各态历经性.均值和相关函数都具有各态历经性的平稳过程称为各态历经过程.注各态历经过程一定是平稳过程,逆不真.电子科技大学一个随机过程具备各态历经性,可以通过研究其一条样本函数来获取过程的全部信息.思想方法：用时间平均代替统计平均.续Ex.1设X(t)=Y,t∈(－∞,+∞),且D(Y)≠0,D(Y)+∞,{X(t)是平稳过程.1)]}([)({tXEtXPX(t)的均值不具有各态历经性.若Y非单点分布时,,)(常数YtX电子科技大学又因22()[()()]()XREXtXtEYYX(t)的自相关函数也不具有各态历经性.续Ex.2设),(),cos()(0ttatXa,ω0是实常数,Θ～U(0,2π),讨论过程的遍历性.0)cos(21)]([200dtatXEmXTTTtXdttaT)()cos(21l.i.m0解电子科技大学)]()([tXtXEdtta])(cos[)cos(210200202cos21a)()(tXtXX(t)的均值和相关函数都具有各态历经性.多数情况不必根据定义验证过程的均方遍历性,以下给出判断遍历性的遍历性定理.电子科技大学三、均值各态历经性定理定理5.3.1设{X(t),t∈R}是平稳过程,则其均值各态历经的充要条件是0)(2121lim22dCTTXTTT0))((2121lim222dmRTTXXTTT或电子科技大学推论1实随机过程{X(t),t∈R}是平稳过程,则其均值各态历经的充要条件为0)(211lim20dCTTXTT证均值各态历经1})({XmtXP0})({tXD,)]([})({XmtXEtXE])(21l.i.m[})({TTTdttXTEtXE即有电子科技大学,)]([21limXTTTmdttXET}])(21l.i.m{[})({22TTTdttXTEtXE22])([41limTTTdttXETTXTdRTT202)()2(241limP197性质4之(2)22]})([{])([})({tXEtXEtXD电子科技大学2202)()2(21limXTXTmdRTT.0])()[21(1lim202TXXTdmRTT推论2则实平稳过程若,)(dCX.)(的均值各态历经tX0)(1)(2112020dCTdCTTTXXTT因当时电子科技大学推论3若平稳过程{X(t),t∈R}的相关函数满足,)(lim2XXmR则X(t)是均值各态历经的.，有证0])([lim)(lim2XXXmRC,,01T对即时，当1T，)(XC－2T2T[]（－T1）T1电子科技大学2222111()()222TTXXTTCdCdTTT（）111()2TXTCdT121()2XTTCdT－2T2T[]（－T1）T1电子科技大学()111(0)2XTCTTTT1(0)23,XTCT1(0),XTCT（当时）221lim1()0.22TXTTCdTT续Ex.2设RttatX),cos()(0a,ω0是实常数,Θ～U(0,2π),讨论过程的遍历性.解已按定义验证了X(t)的均值各态历经,电子科技大学),(cos2)(02XXCaR,0)]([tXE因dCTTXTT)(211lim20daTTTT0220cos2211lim().0cos14lim02202TTaT故X(t)的均值有各态历经性.电子科技大学Ex.3设随机过程X(t)=Acos(ωt+Θ),其中A,ω,Θ是相互独立的随机变量,Θ～U[-,],ω～U[－5,5],E(A)=0,D(A)=4,讨论1)X(t)是否平稳过程；2)X(t)的均值是否各态历经.解E[X(t)]=E[Acos(ωt+Θ)]=0；)}()({),(tXtXEttRX=E{A2cos(ωt+Θ)cos(ω(t+τ)+Θ)}电子科技大学dudtuut)])(cos()[cos(21101455),(5sin54XRX(t)是平稳过程,又因()24limlimsin505XxRmX(t)关于均值各态历经.电子科技大学四、相关函数各态历经性定理则{X(t),t∈R}的相关函数各态历经的充要条件是2221lim1(()())022TXTTuBuRduTT(){()()()()}.BuEXtXtXtuXtu其中定理5.3.2{X(t),t∈R}是均方连续的平稳过程,且对固定的τ,{X(t)X(t+τ),t∈R}也是均方连续的平稳过程，电子科技大学证()()()ZtXtXt令，则RX(τ)=E[Z(t)]=mZ,根据定理5.3.1,对固定的τ,Z(t)均值各态历经的充要条件为duuCTuTZTTT)(2121lim22dumuRTuTZZTTT])([2121lim222电子科技大学,0])()([2121lim222duRuRTuTXZTTT(){()()}ZRuEZtZtu其中{()()()()}EXtXtXtuXtu).()}()()()({uButXutXtXtXE电子科技大学推论1又若定理5.3.1中的{X(t),t∈R}是实随机过程，则相关函数均方遍历的充要条件为2201lim1[()()]02TZXTuRuRduTT注讲义中P122定理3需假定{X(t)X(t+τ),t∈R}是均方连续的平稳过程.对于相关函数的各态历经性一般比较难以判别,要求过程四阶矩存在的条件往往难以满足.电子科技大学Ex.4设随机过程{X(t),t∈R}是零均值的实平稳的正态过程，若,0)(limXR证明过程{X(t),t∈R}的相关函数各态历经.引理若(X1,X2,X3,X4)服从零均值4维正态分布，则)()()()()()()(3241423143214321XXEXXEXXEXXEXXEXXEXXXXE电子科技大学证明，则令)()()(tXtXtZ),()]()([)(XZRtXtXEtm由正态随机变量性质)]()([),(utZtZEuttRZ)]()()()([utXutXtXtXE)]()([)]()([utXutXEtXtXE)]()([)]()([utXtXEutXtXE)]()([)]()([tXutXEutXtXE电子科技大学)()()()(22uRuRuRRXXXX,)(),(lim)(lim22ZXZuZumRuttRuR与t无关，故Z(t)是平稳过程，且根据定理5.3.1的推论3知，的均值各态历经，)(tZ.)(的相关函数各态历经即tX电子科技大学五、各态历经性的应用对于具有各态历经性的平稳过程,可以通过一条样本函数来推断过程的统计特征.如{X(t),t∈[0,+∞)}的均值各态历经,则有.).()(1l.i.m0eadttXTmTTX电子科技大学等分，可将区间存在因均方积分],0[,)(0TdttXTTdttX0)(有NkkkNttX1)(l.i.mt0=0tN=T[]t1t2tN－1,1NTkkkttt其