电子科技大学-随机过程-覃思义-第一章1sjgc1.1

概率空间电子科技大学第一章概率论概要概率空间随机变量及其分布随机变量的函数*随机变量的数字特征*特征函数概率空间电子科技大学§1.1概率空间一、随机事件的公理化定义回顾初等概率论中引进古典概率、几何概率等定义，有如下问题：1)联系于随机试验E的样本空间Ω的结构？2)对于随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的每一个子集(事件)都能确定概率?概率空间电子科技大学定义1.1.1(σ代数)：设随机试验E的样本空间为Ω,F是Ω的子集组成的集族，满足(2)若A∈F,则.（对逆运算封闭）FA(3)若则（对可列并运算封闭）),,2,1(,iFAi1iiFAσ可加称F为Ω的一个σ-代数（事件体）,F中的集合称为事件.(1)Ω∈F;概率空间电子科技大学Ex.1在编号为1,2,…,n的n个元件中取一件.样本空间为{1,2,,}n构造如下事件:),,2,1(}{nkkAk,,1,2,,,nskAAAsksknskiAAAAskiski,1,2,,,,,………1.考虑元件的编号，则全体基本事件为概率空间电子科技大学),1,2,,,,(121,,,1211n21niiiAAAAniiiiiin},,,,,{121,,,,niiiskkAAA可验证集族组成一个σ代数.2.考虑元件是正品或次品，则基本事件为A1={取到正品},A2={取到次品}}Ω,,,{F21AA则为一个σ代数.F{,,,Ω}.AAA通常称是由产生的最简单代数概率空间电子科技大学Ex.2测量一个零件,考虑其测量结果与实际长度的误差.基本事件为{x},样本空间为11}:{ΩRRxx则R1的子集全体：,单点集{x}，一切开的,闭的，半开闭区间等组成的集族F是一个代数.Ω,另外，令0:0:21xxAxxA={出现正误差}={出现负误差}概率空间电子科技大学则为一个σ代数.Ω,,,21AAF注：对同一研究对象的同一试验,试验目的不同,其样本空间和σ代数的结构会不同.定义1.1.2(可测空间)样本空间Ω和σ代数的二元体(Ω,F)称为可测空间.可测空间有如下性质：1.;F2.对可列交运算封闭.若),1,2,(iFAi概率空间电子科技大学1FiiA证,11iiiiAA因FFiiAA11FFiiiiAA3.对有限并,有限交封闭:若则niAi,1,2,,FniiniiAA11FF,或概率空间电子科技大学4.对差运算封闭,即若则.,,AFBFABFABABF二、概率的公理化定义柯氏公理体系是现代概率论的基石.定义(概率)：设(Ω,F)是一可测空间,对定义在F上的实值集函数P(A),满足AF1)非负性：对,0()1;AFPA2)规范性:P(Ω)=1;概率空间电子科技大学3)完全可加性,对;,;1,2,F,jiAAiAjii有11)(iiiiAPAP称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A的概率.三元体(Ω,F,P)称为概率空间.Ex.3设某路口到达的车辆数为m,基本事件为{m},样本空间F是Ω的一切子集组成的集族，则F是一个σ代数.,0,1,2,Ω概率空间电子科技大学令P()=0,并对A∈F令AkkkeAP0λ,!λ)(λ证明P为可测空间(Ω,F)上的概率测度.证1)Ω0λλ1!λ!λΩkkkkkekeP,0!λ0λλkekk有，对2)因概率空间电子科技大学;1!λ!λ)(0ΩλλAkkkkkekeAP3)设),(,,)1,2,(,FjiAAiAjiiiiAkkiikeAP1!λλ1.)(!λ11λiAkiikiAPke有概率空间电子科技大学三、乘积样本空间设A和B是两个集合，称ByAxyxBA,:),(为A与B的积集.定义1.1.3设随机试验Ei,i=1,2,…n的样本空间分别为Ωi,i=1,2,…n,称Ω1×Ω2×…×Ωn={(ω1,ω2…,ωn),ωi∈Ωii=1,2,…,n}为乘积样本空间.概率空间电子科技大学Ex.3设抛一枚均匀硬币试验E1的样本空间为},{1HT掷一颗均匀硬币骰子试验E2的样本空间为}6,5,4,3,2,1{2先抛一枚均匀硬币,再掷一颗均匀骰子试验的样本空间可设为Ω=Ω1×Ω2={(ω1,ω2),ωi∈Ωii=1,2}有ω=(T,i)∈Ω,ω=(H,i)∈Ω,i=1,2,…,6.概率空间电子科技大学Ex.4n次独立重复抛一枚均匀硬币试验E的样本空间为Ωn={(ω1,ω2…,ωn),ωi∈Ω,i=1,2,…,n}=Ω×Ω×…×Ω=Ωn称为Ω的n维乘积空间.如(T,T,H)∈Ω,(H,T,H)∈Ω3=Ω3.四、概率性质设(Ω,F,P)是概率空间,则概率P有如下性质:概率空间电子科技大学1)P()=0;2)有限可加性:若)(,;,1,2,,FjiAAniAjii;)(11niiniiAPAP则推论1:;1)()(APAP推论2(单调性):若，则ABP(A－B)=P(A)－P(B)且),()(BPAP概率空间电子科技大学3)概率的连续性.0)(limnnAP则,1inA且若,21AAA1AnAn+1证：211nnnnnAAAAA1,2,,ˆ1knBAAnkknkk概率空间电子科技大学其中B1,B2,…互不相容，特别由完全可加性有0)()(11111kkkkkAAPBPAP收敛级数的余项极限为0,(as),即n.0,)()(1nasAAPAPnkkkn则且若,,121AAAAnn推论1：lim()().nnPAPA概率空间电子科技大学推论2：则且若,,121nnAAAAlim()().nnPAPA证：在推论2中,,21BBAABnn则令11)(nnnnAAB且AAAAnn1概率空间电子科技大学0)(limnnBPnasAPAPn),()(ABn=A－An.0)()()(nnAAPAPAP概率空间电子科技大学.)1()()(11111niinnkikiniiniiAPAAPAPAP推论：概率具有次可加性.11niiniiAPAP有设,,1,2,F,niAi4）多除少补原理概率空间电子科技大学五、条件概率)()(ˆ)(BPABPBAP定义：设(Ω,F,P)是概率空间，A,B∈F，且P(B)0称为已知事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率.概率空间电子科技大学1;)Ω()2BP.)(11iiiiBAPBAP则且),(,,1,2,,F)3jiAAiAjii条件概率是概率.;1)(0F,)1BAPA定理：设(Ω,F,P)是概率空间,B∈F,且P(B)0,则对有对应,集函数满足三条公理:)(BAPF,A)(BP概率空间电子科技大学六、全概率公式与Bayes公式定理设(Ω,F,P)是概率空间,若1)Ai∈F,且P(Ai)0，(i=1,2,…);完备性条件.则对任意B∈F有1);)()(1iiiABPAPBP.,Ω1jiiiAAA2)概率空间电子科技大学.1,2,,)()()()()()21jABPAPABPAPBAPiiijjj