二重积分计算习题

二重积分的计算——习题解析与相关练习作业P366利用极坐标计算二重积分arctanDydx其中D是由圆周22224,1xyxy及直线y=0，y=x所围成的在第一象限内的闭区域。解：在极坐标系中，{(,)|12,0},arctan4yDrrx于是2401222arctan113()(21)24264DDydxrdrddrdr[知识整理]（1）直角坐标系下二重积分的计算I、x型区域（先y后x）21()()(,)(,)bxaxDVfxydxdydxfxydyII、y型区域（先x后y）21()()(,)(,)dycyDVfxydxdydyfxydx（2）极坐标系下二重积分的计算III、方法与步骤①绘出区域D的图形：②确定积分限：③计算积分：④利用奇偶性简化运算。(,)(cos,sin)Dfxydfrrrdrd计算二重积分可利用区域D的对称性和被积函数的奇偶性简化计算。对有xyD关于x、y轴对称f(x,y)是x、y的偶函数（奇函数）yx(,)DDIfxydxdy/2/4/224(0)2DDDDDIIIII注：例1求以xOy面上的圆域为底，22{(,)|1}Dxyxy圆柱面为侧面，221xy抛物面222zxy为顶的曲顶柱体的体积。并在极坐标系下求其二重积分值xyzO2解：如图所示，所求曲顶柱体的体积为22(2)DVxyd其中积分区域D可表示为22{(,)|11,11}Dxyxyxx由D的对称性及被积函数22(,)2fxyxy关于x，y均为偶函数可知1224(2)DVxyd其中21{(,)|01,01}Dxyyxx为D在第一象限部分，于是231112222200024(2)4[1(1)]3xVdxxydyxxdx242024(coscos)3123134()2234222ttdt解法2：（极坐标系下解）在极坐标系中，闭区域D可表示为{(,)|01,02}Drr于是21200(2)Vdrrdr42210020[]|43342rrdd例2计算二重积分cos()DxxydD是顶点分别为(0,0),(,0),(,)的三角形闭区域解：000000cos()cos()cos()[sin()]|DxxxxxyddxxxydyxdxxydyxdxxyxyD续解0000(sin2sin)1(coscos2)211[(coscos2)](coscos2)2213(1)022xxxdxxdxxxxxxxdx例3计算二重积分xyDed其中{(,)|||||1}Dxyxy解：xyD1D2-1-111如图12DDD因此12xyxyxyDDDededed011111010121121101()()xxxyxyxxxxedxedyedxedyeedxeedxee【相关练习】①222222sin(,)|4DxyDxyxy②221Dxyd③D为圆域224xy2211DxydxyD为半圆域221,0xyx例4把下列二重积分化为二次积分（写出两种积分次序）(,)Dfxydxdy积分区域为抛物线与直线2yx23xy及x轴所围成的闭区域xyD解：解方程组得223xyyx(3,9),(1,1)132所以11(3)20(,)(,)Dyyfxydxdydyfxydx2311322011(,)(,)xxdxfxydydxfxydy例5化出积分区域，把积分(,)Dfxyd表示为极坐标形式的二次积分222{(,)|}(0)DxyxyaarxyO解：如图，在极坐标系中，{(,)|0,}22Drra所以(,)(cos,sin)DDfxydfrrrdrd202(cos,sin)adfrrrdraa-a【相关练习】①交换二次积分的次序21110(,)yydyfxyd②把积分化为极坐标形式222222204aaaxxdydxxyaxy例6【平均利润问题】设公司销售商品甲x个单位，商品乙y个单位的利润是由下列函数式确定：22(,)(200)(100)5000Pxyxy现已知一周内甲商品的销售量在150～200之间变化，乙商品的销售量在80～100之间变化，试求销售这两种商品一周的平均利润。解：因x,y的变化范围D:150≤x≤200,80≤y≤100,这个区域D的面积为50201000这家公司销售两种商品一周的平均利润是：2220010022150802002150200315011(,)[(200)(100)5000]10001[(200)(100)5000]10001292000[20(200)]1000311210020(200)292000403330003DDPxydxyddxxydyxdxxx作业：习题9—2P36914、15、