2015年中考数学第25课时-矩形、菱形、正方形

第25课时矩形、菱形、正方形第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦考点聚焦归类探究回归教材考点1矩形直角直相等斜边相等第25课时┃矩形、菱形、正方形考点2菱形考点聚焦归类探究回归教材邻边相等垂直一组对角第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材相等垂直一半第25课时┃矩形、菱形、正方形考点3正方形考点聚焦归类探究回归教材平行相等直角垂直平分第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形考点4中点四边形考点聚焦归类探究回归教材矩形菱形矩形正方形菱形命题角度：1.矩形的性质；2.矩形的判定．探究一矩形的性质及判定的应用归类探究第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材例1[2014·枣庄]如图25－1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD＝12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．图25－1第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材解：(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.又∵AE＝CF，∴OE＝OF.∵DF∥BE，∴∠OEB＝∠OFD.∵∠EOB＝∠FOD，∴△BOE≌△DOF.(2)四边形ABCD是矩形．证明：∵△BOE≌△DOF，∴OD＝OB.∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵OD＝12AC，OD＝12BD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材方法点析矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，同时也具有特殊的性质．判定矩形的方法是多样的，可以先判定这个四边形是平行四边形，然后再判定是矩形．命题角度：1．菱形的性质；2．菱形的判定．探究二菱形的性质及判定的应用第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材例2[2014·厦门]如图25－2，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.∠BAD＝∠BCD，AM＝AN.求证：四边形ABCD是菱形．图25－2第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材证明：方法一：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BCD＋∠B＝180°，∴AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ABM≌Rt△ADN，∴AB＝AD，∴ABCD是菱形．第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材方法二：连接BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵∠BAD＝∠BCD，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB，∴AD＝CB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC.∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ABM≌Rt△ADN，∴AB＝AD，∴ABCD是菱形．第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材方法三：连接AC，∵AM＝AN，AC＝AC，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ACM≌Rt△ACN，∴∠ACB＝∠ACD.∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴DC＝AD.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA＝∠ACD，∴AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AD＝CD，∴ABCD是菱形．第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材方法点析在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形．若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明．命题角度：1．正方形的性质的应用；2．正方形的判定．探究三正方形的性质及判定的应用第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材例3[2014·绍兴](1)如图25－3①，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG.求证：EF＝FG.(2)如图25－3②，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°.若BM＝1，CN＝3，求MN的长．图25－3第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材解：(1)证明：∵正方形ABCD中，BE＝DG，∠B＝∠ADG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠GAF＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝45°＝∠EAF.又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF＝FG.第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材(2)如图，过点A作AK⊥AM，取AK＝AM，连接NK，CK，∴∠MAK＝90°.∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠NAK.又∵AB＝AC，AN＝AN，∴△ABM≌△AKC，△AMN≌△AKN，∴∠5＝∠B＝45°，CK＝BM＝1，NK＝MN.∵∠B＋∠4＝90°，∴∠4＋∠5＝90°，∴NK＝CK2＋CN2＝12＋32＝10，∴MN＝10.第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材方法点析正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形、特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质．正方形的判定方法有两条思路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．命题角度：1．矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；2．矩形、菱形、正方形的关系转化．探究四特殊平行四边形的综合应用第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材例4[2014·德州]如图25－4，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝25.以上结论中，你认为正确的有()图25－4A．1个B．2个C．3个D．4个C第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材解析解析先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定四边形CFHE是菱形，故①正确．根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有当∠DCE＝30°时，EC才平分∠DCH，故②错误．当点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8－x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，此时BF＝3.当点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，故③正确．过点F作FM⊥AD于点M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．命题角度：1.对角线相等的四边形的中点四边形；2.对角线互相垂直的四边形的中点四边形．探究五中点四边形第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材例5如图25－5所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是菱形．图25－5第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材证明：过点D作DM∥AB，交BC于点M，连接AC，BD.∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，EH＝FG＝12BD，HG∥AC，EF∥AC，HG＝EF＝12AC，∴EH∥FG，HG∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．∵在四边形ABMD中，AD∥BC，AB∥DM，∴四边形ABMD为平行四边形，∴DM＝AB＝CD，∴∠DMC＝∠DCM.第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材∵AB∥DM，∴∠ABC＝∠DMC＝∠DCM.在△ABC和△DCB中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB，∴AC＝BD，∴HG＝EH，∴EFGH是菱形．第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材方法点析依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材例6[2014·成都]如图25－6，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是________．图25－6探究六平行四边形的折叠问题7－1第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材解析解析如图所示，∵MC，MA′是定值，∴当A′C的长度最小时，点A′在MC上．过点M作MF⊥CD，交CD的延长线于点F.∵在边长为2的菱形ABCD中，M是AD的中点，∠A＝60°，∴CD＝2，DM＝1，∠ADC＝120°，∴∠FDM＝60°，∠FMD＝30°，∴FD＝12MD＝12，∴FM＝32，∴MC＝FM2＋CF2＝7.由题意易知MA′＝MA＝1，∴A′C＝MC－MA′＝7－1.第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材方法点析折叠的实质是轴对称，折叠前后对应部分重合，即对应角相等，对应边相等，对应图形全等．回归教材第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材教材母题——人教版八下P62T15已知：如图25－7，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求证：AF－BF＝EF.图25－7第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°.∵DE⊥AG，∴∠DEG＝∠AED＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝90°.又∵∠BAF＋∠DAE＝∠BAD＝90°，∴∠ADE＝∠BAF.∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED，∴△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，∴AF－BF＝AF－AE＝EF.第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材[点析]正方形含有很多相等的边和角，这些是证明全等的有力工具．第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材中考预测1．如图25－8，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G.求证：AE＝BF.图25－8第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材1．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.又∵AE⊥BF，垂足为G，∴∠CBF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF.在△ABE与△BCF中，∠ABE＝∠BCF，AB＝BC，∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF.第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材2．如图25－9，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点(点G与B，C两点不重合)，E，F是AG上的两点(点E，F与A，G两点不重合)．若AF＝BF＋EF，∠1＝∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论．图25－9第25课时┃矩形、菱形、正方形考点聚焦归类探究回归教材解：DE∥BF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＋∠2＝90°.∵AF＝AE＋EF，AF＝BF＋EF，∴AE＝BF.∵∠1＝∠2，∴△ABF≌△DAE(SAS)，∴∠AFB＝∠DEA，∠BAF＝∠ADE，∴∠ADE＋∠2＝∠BAF＋∠2＝90°，∴∠AED＝∠BF