信号与系统-连续系统的拉普拉斯变换分析

信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS第四章连续时间信号与系统的复频域分析♣在前一章里，我们学习了傅里叶变换，用傅里叶分析法分析信号与系统的频域特性。♣傅里叶分析法带来的好处1.建立了信号与其频谱之间一一对应的关系，可以得到信号的频谱分布、带宽等频域特性。t11Fj00tt11Fj00t信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS2.可以得到系统在频域的系统函数，方便理解系统的传输特性，同时易于求取系统的零状态响应。)(jH()EjzsRjEjHj()htTe()tzsrtethtEj0ω1ω2Hjω1ZSRj0ω1ω2时域分析方法对于复杂的系统只能求得结果，不能从物理概念上解释为什么得到这种响应，从而在系统分析、设计和调整上遇到困难。傅立叶分析法可以从频谱的观点说明激励与响应之间的差异情况，物理概念清楚，方便系统分析、设计和元件参数调整。例如：信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS♣有科学家在应用傅里叶分析法求响应时，觉得٭对具有初始条件的系统问题，不能利用傅里叶变换求得系统的完全响应。٭一些常用信号因不满足狄里赫利条件而不存在傅里叶变换，如，而不能用傅里叶分析法分析。te♣这个科学家就是法国的拉普拉斯，他希望能解决上面问题，然后提出了新的变换方法，被称为拉普拉斯变化法。信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS♣本章即学习和研究用拉普拉斯变换分析法分析信号与系统。主要内容：٭由傅里叶变换导出拉普拉斯变换。٭讨论拉普拉斯变换的基本性质和常用信号的拉普拉斯变换对。٭讨论线性系统的拉普拉斯变换分析法，并运用该分析法分析线性系统。信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS§4.1拉普拉斯变换§4.2拉普拉斯变换的性质§4.3拉普拉斯反变换§4.4连续时间系统的复频域分析§4.5系统函数§4.6系统函数及其零、极点分布与系统的时域和频域特性§4.7双边拉普拉斯变换§4.8连续时间系统的s域模拟§4.9系统的稳定性内容回顾本章内容安排信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS作业♣4.1(1)(5)、4.2(2)(4)(6)、4.4♣4.8(2)(4)(10)、4.6(1)(2)、4.9(1)(2)♣4.10(1)(3)(4)、4.11(1)、4.13♣4.15、4.19(1)、4.35信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS4.1拉普拉斯变换laplacetransform1从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数满足狄里赫利条件时，可构成一对傅里叶变换：()ftjtFjftedt12jtftFjed绝对可积极值数目有限有限个间断点很多信号因为不满足绝对可积，不存在傅里叶变换。为使更多的函数存在变换，引入一衰减因子与相乘，()ftte使满足绝对可积，求其傅里叶变换：tfte积分变换式须有严格的数学证明，不能随意给出，下面由傅里叶变换式推导拉普拉斯变换式。信号与系统SIGNALS＆SYSTEMSjtFjftedt与比较，显然1FjFj.1()()2jstjsjdsjdftFsedsj由111()()()22tjtjtfteFjedFjed1()()2jtftFjed由傅立叶反变换1jtttjtFjFftefteedtftedt令sj1stFjFsftedt则通过积分变换，将自变量为t的函数变成自变量为s的函数通过积分变换，将自变量为s的函数变成自变量为t的函数信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS由此得到双边拉普拉斯变换：stFsftedt12jstjftFsedsj（拉普拉斯正变换）（拉普拉斯逆变换）ft可能包含有冲激函数及其导数项，取积分的下限为。0实际应用中的大都是有始信号，并考虑到信号在t=0时刻得到单边拉普拉斯变换：0_stFsftedt12jstjftFsedstj如无特别说明，拉普拉斯变换均指单边拉普拉斯变换。通常表示为：1[][]FsLftftLFsftFs或原函数象函数信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS在傅立叶反变换中，时间函数分解为无穷多项ω的指数函数ftjte之和。拉氏变换可以理解为一种广义的傅立叶变换，jte扩展为复变量s的复指数函数stesj，即将时间函数看成无穷多项ft的叠加。stecossinsttjtteeetjtσ表征了正弦函数和余弦函数振幅随时间变化的情况，称为衰减因子。ω表征了正弦函数和余弦函数的角频率，称为振荡因子。傅立叶变换将时间函数ft变换为频域函数jF拉斯变换将时间函数ft变换为复变函数Fs拉普拉斯变换的理解信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS0tftedtlim0ttfte才得到拉普拉斯变换式，所以，拉普拉斯变换存在的充要条件是：或2拉普拉斯变换的收敛域在前面的讨论中，引入一衰减因子te，使满足绝对可积，tftef(t)不同，则满足条件的σ不同使tfte满足绝对可积条件的的取值范围称为拉普拉斯变换的收敛域。定义：ft若0时，0比如：tfte的拉普拉斯变换的收敛域为绝对可积，则，信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS根据0的值可将s平面划分为两个区域：0称为收敛坐标。称为收敛轴（收敛域的边界）0收敛轴0j0非收敛区收敛区0信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS例4.1求函数ftAtAt的拉氏变换的收敛域。解：limlim00ttttAtAtee无论取何值，被积函数均收敛。所以其收敛域为整个S平面。推广：任何时限有界的函数，其拉氏变换的收敛域就是整个S平面。即例4.2求函数(0)nfttn的拉氏变换的收敛域。解：limlimnnttttttee即00，收敛轴为虚轴，收敛域为右半S平面。0下面讨论一些典型函数拉普拉斯变换的收敛域lim0nttte时，!limnttne信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS例4.3设函数,；,。1tftet02tftet0求它们的双边拉氏变换和1Fs2Fs，并画出各自的收敛域。解：根据定义101tsttstFsetedteedts同理0()21tststFsetedtedtsj0j0的收敛域sF1的收敛域sF21Fs2Fs虽然有相同的和表达式，但由于收敛域的不同，而表示了完全不同的函数。所以时间函数只有在给定收敛域内与其拉普拉斯变换式一一对应。由绝对可积条件0，因此收敛域为()0tedt，由绝对可积条件0，因此收敛域为0()tedt，信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS为什么要讨论收敛域？对于某个信号，只要能够找到收敛坐标，就存在拉普拉斯变换。如果找不到收敛域，则该信号不存在拉普拉斯变换。对于单边拉斯变换，不会存在拉斯变换对不是唯一对应，可以不标收敛域；双边拉斯变换的收敛问题比较复杂，会出现不同的原函数的像函数是一样的，需要标注收敛域。严格来讲，求拉氏变换时，应同时给出收敛域。信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS3.1单位冲激函数t001|ststtFsLttedte即1t3.2单位阶跃函数t0011|ststFsLtedtess即1ts3常用信号的拉普拉斯变换0信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS3.3指数信号tet()001ttststFsLeteedtedts即1tets1tj而傅立叶变换中由于有些信号不满足绝对可积条件，频谱函数中含有冲激函数。而拉斯变换增加了衰减因子，使信号收敛，象函数中不含冲激函数。因此，拉斯变换后的函数形式比傅立叶变换简单，方便进一步运算。信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS序号112345（n为正整数）6表4.1常用函数的拉普拉斯变换表0fttFsttttenttte21s1!nns1s1ss信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS78910111213ntte0sint0cost0sintet0costet0sintt0costt2202220()ss022202()ss220()ss0220()s220ss0220s1!nns信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS1.线性性质若，11ftFs22ftFs式中，和为任意常数。1a2a证明：112211220_[]stLaftaftaftaftedt11220_0_ststaftedtaftedt1122aFsaFs4.2拉普拉斯变换的性质与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有许多重要性质。掌握好这些性质，有助于求解一些复杂信号的拉普拉斯变换。11221122aftaftaFsaFs则信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS例4.4求函数0cosfttt的拉普拉斯变换Fs解：由欧拉公式和线性性质0001cos2jtjtLttLeet001122jtjtLetLet220001112ssjsjs同理00220sintts信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS若，则ftFs000stfttttFse2.时移（延时）性质00t这里研究单边拉氏变换，所以没有以免移到左半平面0+ftt00fttt00ftt00fttt000ftttt注意适用时移性质0ftftt若信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS设ft为以T为周期的周期信号，、1ft2ft、……等分别表示它的第一周期、第二周期、……等的函数，则可将ft表示为123ftftftft11122ftftTtTftTtT若11ftFs，则根据时移性质，可写出ft的象函数为2111sTsTFsLftFseFseFs21(1)sTsTeeFs周期信号的拉普拉斯变换等于：11首项公比的项数次方等比数列的和公比11sTe因子。其第一周期单个信号的拉普拉斯变换式乘以利用时移性质求有始周期信号的拉普拉斯变换111sTFse信号与系统SIGNALS＆SYSTEMS例4.6求下图所示信号的拉普拉斯变