2017年高考数学上海试题及解析

第1页（共9页）2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=．{3,4}【解析】∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．2．（2017年上海）若排列数Am6=6×5×4，则m=．2.3【解析】∵排列数Am6=6×5×…×(6-m+1)，∴6-m+1=4，即m=3.3．（2017年上海）不等式x-1x＞1的解集为．3.(-∞，0)【解析】由x-1x＞1，得1-1x1，则1x0，解得x0，即原不等式的解集为(-∞，0).4.（2017年上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．4.9π【解析】设球的半径为R，则由球的体积为36π，可得43πR3=36π，解得R=3.该球的主视图是半径为3的圆，其面积为πR2=9π．5．（2017年上海）已知复数z满足z+3z=0，则|z|=．5.3【解析】由z+3z=0，可得z2+3=0，即z2=-3，则z=±3i，|z|=3.6．（2017年上海）设双曲线x29-y2b2=1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=．6.11【解析】双曲线x29-y2b2=1中，a=9=3，由双曲线的定义，可得||PF1|-|PF2||=6，又|PF1|=5，解得|PF2|=11或﹣1（舍去），故|PF2|=11.7．（2017年上海）如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量→DB1的坐标为（4，3，2），则向量→AC1的坐标是．7.(-4,3,2)【解析】由→DB1的坐标为（4，3，2），可得A（4，0，0），C(0,3,2)，D1(0,0,2)，第2页（共9页）则C1（0，3，2），∴→AC1=（﹣4，3，2）．8.（2017年上海）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=3x-1，x≤0，f(x)，x0为奇函数，则f-1（x）=2的解为．8.89【解析】g（x）=3x-1，x≤0，f(x)，x0为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g(x)=-g（﹣x）=-(3-x-1)=1-3-x，则f(x)=1-3-x.由f-1（x）=2，可得x=f(2)=1-3-2=89，即f-1（x）=2的解为89.9．（2017年上海）已知四个函数：①y=-x，②y=-1x，③y=x3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．9.12【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C24=6，“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③，①④，共2个，∴事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p=26=13.10．（2017年上海）已知数列{an}和{bn}，其中an=n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{bn}的第an项等于{an}的第bn项，则lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)=10.2【解析】∵an=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项，∴ban=abn=b2n.∴b1=b12，b4=b22，b9=b32，b16=b42.∴b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2，lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)=2.11．（2017年上海）设α1，α2∈R且12+sinα1+12+sin2α2=2，则|10π-α1-α2|的最小值等于．11.π4【解析】由-1≤sinα1≤1，可得1≤2+sinα1≤3，则13≤12+sinα1≤1.同理可得13≤12+sin2α2≤1.要使12+sinα1+12+sin2α2=2，则12+sinα1=12+sin2α2=1，即sinα1=sin2α2=-1.所以α1=2k1π-π2，2α2=2k2π-π2，k1,k2∈Z.所以|10π-α1-α2|=|10π-(2k1π-π2)-(k2π-π4)|=|10π+3π4-(2k1+k2)π|，当2k1+k2=11时，|10π-α1-α2|取得最小值π4.12．（2017年上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧．用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和．若过P的直线lP中有且只有一条满足D1（lP）=D2（lP），则Ω中所有这样的P为．第3页（共9页）12.P1,P3,P4【解析】设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示，四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，则经过点P2的所有直线都是符合条件的直线lP.因此经过点P2的符合条件的直线lP有无数条；经过点P1,P3,P4的符合条件的直线lP各有1条，即直线P2P1,P2P3,P2P4.故Ω中所有这样的P为P1,P3.P4.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（2017年上海）关于x，y的二元一次方程组x+5y=0，2x+3y=4的系数行列式D为()A.0543B.1024C.1523D.605413.C【解析】关于x，y的二元一次方程组x+5y=0，2x+3y=4的系数行列式D=．故选C．14．（2017年上海）在数列{an}中，an=（-12）n，n∈N*，则limn→∞an（）A.等于-12B.等于0C.等于12D.不存在14.B【解析】数列{an}中，an=（-12）n，n∈N*，则limn→∞an=limn→∞(-12)n=0．故选B．15.（2017年上海）已知a,b,c为实常数，数列{xn}的通项xn=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A.a≥0B.b≤0C.c=0D.a-2b+c=015.A【解析】存在k∈N*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化简得a=0，∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选A．第4页（共9页）16．（2017年上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x236+y24=1和C2：x2+y29=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是→OP·→OQ的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上且→OP·→OQ=w}，则Ω中的元素有（）A.2个B.4个C.8个D.无穷个16.D【解析】P为椭圆C1：x236+y24=1上的动点，Q为C2：x2+y29=1上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），α，β∈[0,2π],则→OP·→OQ=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β），当α-β=2kπ，k∈Z时，→OP·→OQ取得最大值w=6，即使得→OP·→OQ=w的点对(P,Q)有无穷多对，Ω中的元素有无穷个.三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（2017年上海）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．17.【解析】（1）∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC·AA1=12AB·AC·AA1=12×4×2×5=20.（2）连接AM.∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴AA1⊥底面ABC.∴∠AMA1是直线A1M与平面ABC所成角.∵△ABC是直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，点M是BC的中点，∴AM=12BC=12×42+22=5.由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥AM,∴tan∠A1MA=AA1AM=55=5.∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan5．第5页（共9页）18．（2017年上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+12，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=19，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．18.【解析】（1）函数f（x）=cos2x-sin2x+12=cos2x+12，x∈（0，π）.由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π2≤x≤kπ，k∈Z.k=1时，π2≤x≤π，可得f（x）的增区间为[π2，π）.（2）f（A）=0，即有cos2A+12=0，解得2A=2kπ±2π3.又A为锐角,故A=π3.又a=19,b=5，由正弦定理得sinB=bsinAa=55738,则cosB=1938.所以sinC=sin(A+B)=32×1938+12×55738=35738.所以S△ABC=12absinC=12×19×5×35738=1534.19．（2017年上海）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an=5n4+15，1≤n≤3，-10n+470，n≥4，bn=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=-4（n﹣46）2+8800（单位：辆），设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？19.【解析】（1）前4个月共享单车的累计投放量为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共享单车的累计损失量为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令an≥bn，显然n≤3时恒成立，第6页（共9页）当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{an}为公差为﹣10等差数列，而{bn}为公差为1的等差数列，∴到第42个月底，共享单车保有量为a4+a422×39+535-b1+b422×42=430+502×39+535-6+472×42=8782．又S42=﹣4×(42-46)2+8800=8736，8782＞8736，∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量．20．（2017年上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：x24+y2=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限且|OP|=2，求P的坐标；（2）设P（85,35），若以A,P,M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C且→AQ=2→AC，→PQ=4→PM，求直线AQ的方程．20.【解析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），由点P在椭圆Γ：x24+y2=1上且|OP|=2,可得x24+y2=1，x2+y2=2，解得x2=43,y2=23，则P（233，63）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（85，35）.若∠P=90°，则→PA•→PM=0，即（-85，25）•（x0﹣85，﹣35）=0，∴（﹣85）x0+6425-6