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----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1反三角函数典型例题例1:在下列四个式子中,有意义的为__________:解:(4)有意义。(1)arcsin2;(2)arcsin4;(3)sin(arcsin2);(4)arcsin(sin2)。点评:arcsinx——x[1,1]。例2:求下列反正弦函数值(1)3arcsin2解:3(2)arcsin0解:0(3)1arcsin()2解:6(4)arcsin1解:2点评:熟练记忆:0,12、22,32,1的反正弦值。思考:1sin(arcsin)24该如何求?例3:用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x(1)3sinx5,x[,]22解:x=arcsin35变式:x[,]2?解:x[,]2时,π-x[0,]2,sin(π-x)=sinx=35∴π-x=arcsin35,则x=π-arcsin35变式:x[0,]?解:x=arcsin35或x=π-arcsin35(2)1sinx4,x[,]22解:1xarcsin4变式:1sinx4,3x[,2]2解:3x[,2]2时,2π-x[0,]2,sin(2π-x)=-sinx=14∴2π-x=arcsin14,则x=2π-arcsin14点评:当x[,]22时,xarcsina;而当x[,]22,可以将角转化到区间[,]22上,再用诱导公式处理对应角之三角比值即可。练习:(1)3sinx2,x[,]22解:x3(2)3sinx3,x[0,]解:3xarcsin3或3xarcsin3(3)3sinx5,3x[,]22解:3xarcsin5----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2例4:求函数y2arcsin(52x)的定义域和值域。解:由152x1,则x[2,3],arcsin(52x)[,]22,则y[,]。变式:ysinxarcsinx解:x[1,1],y[sin1,sin1]22思考:当3x[,]44时,求函数yarcsin(cosx)的值域。解:当3x[,]44时2tcosx[,1]2,而yarcsint为增函数,则y[,]42。例5:求下列函数的反函数(1)ysinx,x[,]2解:y[0,1],x[,0]2且sin(x)sinxy,则xarcsin(y),则xarcsiny,则反函数是1f(x)arcsinx,x[0,1]。(2)yarcsinx,x[0,1]解:y[0,]2,xsiny,则反函数是1f(x)sinx,x[0,]2。[例6]求下列反三角函数的值:(1)3arccos2=6(2)2arccos()2=34(两种方法)(3)arccos0+arctan1=34(4)arctan(3)=3(5)arcsin(-12)+arccos(-12)=2(6)5arctan(tan)6=6[例7]用反三角函数值的形式表示下列各式中的x:(1)1cosx3,x[0,]解:1xarccos3变式:1cosx3,x[,2]解:1x2arccos3(2)tanx2,x(,)22解:xarctan(2)变式:3x(,)22解:xarctan2----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3[例8](1)已知arcsinxarcsin(1x),求x的取值范围。解:由11xx1,得1x12。(2)arccosxarccos(1x)解:由1x1x1,得10x2。(3)arctanx3解:x3(4)arccosx3解:11x2[例9求y=arcsinx+arctanx的值域。解:∵-1≤x≤1∴-34≤y≤34——涉及和函数概念,反正弦、反正切函数单调性[例10]求下列各式的值:(1)2sin(arccos())3解:设2xarccos()3,则2cosx3且x[,]2,则7sinx3(2)2tan[arccos()]26解:2313(31)tan()2343213(3)213cos(arccos)25解:设3xarccos5,则3cosx5且x[0,]2,则2x1cosx4cos225(4)123sin[arctanarcsin]55解:设12arctan5,3arcsin5,则12tan5,4sin5且,(0,)2,则1231245333sin[arctanarcsin]sin()5513513565。思考:若求11arctanarctan23的值呢?解:1arctan2,1arctan2,则1tan2,1tan3且,(0,)2,∵tan()1,且(0,),∴4。
本文标题:反三角函数典型例题
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