2007年考研数学三真题及解析

-1-2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）当0x时，与x等价的无穷小量是（）A.1xe.ln(1)Bx.11Cx.1cosDx（2）设函数()fx在0x处连续，下列命题错误的是：()A.若0()limxfxx存在，则(0)0f.B若0()()limxfxfxx存在，则(0)0f.C.若0()limxfxx存在，则'(0)f存在.D若0()()limxfxfxx存在，则'(0)f存在（3）如图.连续函数()yfx在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2,0,0,2上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xFxftdt则下列结论正确的是：（）.A.(3)F3(2)4F.B(3)F5(2)4F.C(3)F3(2)4F.D(3)F5(2)4F（4）设函数(,)fxy连续，则二次积分1sin2(,)xdxfxydy等于（）.A10arcsin(,)xdyfxydx.B10arcsin(,)ydyfxydx.C1arcsin02(,)ydyfxydx.D1arcsin02(,)ydyfxydx（5）设某商品的需求函数为1602Q，其中Q，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）.A10.B20.C30.D40（6）曲线1ln(1),xyex渐近线的条数为（）.A0.B1.C2.D3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是()（A）122131,,(B)212331,,（C）1223312,2,2(D)1223312,2,2（8）设矩阵211121112A，100010000B则A与B（）（A）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似-2-(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()2()3(1)App2()6(1)Bpp22()3(1)Cpp22()6(1)Dpp(10)设随机变量(,)XY服从二维正态分布，且X与Y不相关，(),()xyfxfy分别表示X,Y的概率密度，则在Yy条件下，X的条件概率密度()XYxyf为()（A）()Xfx(B)()yfy(C)()()xyfxfy(D)()()xyfxfy二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（11）3231lim(sincos)________2xxxxxxx.（12）设函数123yx，则()(0)_________ny.（13）设(,)fuv是二元可微函数，(,),yxzfxy则zzyxy________.（14）微分方程31()2dyyydxxx满足11xy的特解为__________.（15）设距阵01000010,00010000A则3A的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()yyx由方程ln0yyxy确定，试判断曲线()yyx在点（1，1）附近的凹凸性.-3-（18）（本题满分11分）设二元函数222.1.(,)1,12.xxyfxyxyxy计算二重积分(,).Dfxyd其中(,)2Dxyxy（19）（本题满分11分）设函数()fx，()gx在,ab上内二阶可导且存在相等的最大值，又()fa＝()ga，()fb＝()gb，证明：（Ⅰ）存在(,),ab使得()()fg；（Ⅱ）存在(,),ab使得''()''().fg-4-（20）（本题满分10分）将函数21()34fxxx展开成1x的幂级数，并指出其收敛区间.-5-1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)xxxxxaxxxaxxxxaa本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解-6-（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A的特征值12311,2,2,(1,1,1)T是A的属于1的一个特征向量.记534BAAE，其中E为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.-7-（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)XY的概率密度为2,01,01.(,)0,xyxyfxy其他（Ⅰ）求2PXY；（Ⅱ）求ZXY的概率密度()Zfz.-8-（24）（本题满分11分）设总体X的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,xfxx其他.其中参数(01)未知，12,,...nXXX是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.（Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断24X是否为2的无偏估计量，并说明理由.-9-2007年考研数学（三）真题答案一、选择题BDCBDDABCA二、填空题（11）3231lim(sincos)___0_________2xxxxxxx.（12）设函数123yx，则()1(1)2!(0)___________3nnnnny.（13）设(,)fuv是二元可微函数，(,),yxzfxy则''122(,)2(,)zzyyxxyxyffxyxxyyxy.（14）微分方程31()2dyyydxxx满足11xy的特解为221lnxyx.（15）设距阵01000010,00010000A则3A的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为＿34＿.三、解答题：（17）（本题满分10分）设函数()yyx由方程ln0yyxy确定，试判断曲线()yyx在点（1，1）附近的凹凸性.【详解】：''''1'2'''''''21''11ln2102ln112ln121()(2ln)0(2ln)()101(2ln1)8()(1,1)xxxyyyyyyyyyyyyyyyyyyyx对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的（18）（本题满分11分）设二元函数-10-222.1.(,)1,12.xxyfxyxyxy计算二重积分(,).Dfxyd其中(,)2Dxyxy【详解】：积分区域D如图，不难发现D分别关于x轴和y轴对称，设1D是D在第一象限中的部分，即1(,)0,0DDxyxy利用被积函数(,)fxy无论关于x轴还是关于y轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得1(,)4(,)DDfxydfxyd设11112DDD，其中1112(,)1,0,0,(,)12,0,0DxyxyxyDxyxyxy于是1111211122(,)4(,)4(,)4(,)44(,)DDDDDDfxydfxydfxydfxydxdfxyd由于11(,)01,01Dxyxyx，故11111222000111(1)3412xDxdxdxdyxxdx为计算12D上的二重积分，可引入极坐标(,)r满足cos,sinxryr.在极坐标系(,)r中1xy的方程是1,2cossinrxy的方程是，2cossinr，因而12120,2cossincossinDr，故1222cossin212200cossin1cossinDdrddrdrxy令tan2t作换元，则2arctant，于是:0:012t且2222212,cos,sin111dtttdttt，代入即得-11-1211222220000112210010122(1)cossin122(1)22111()2222212121=lnln2ln(21)22221Dddtdtdtutttxydududuuuuuuu综合以上计算结果可知11(,)44ln(21)4ln(21)123Dfxyd（19）（本题满分11分）设函数()fx，()gx在,ab上内二阶可导且存在相等的最大值，又()fa＝()ga，()fb＝()gb，证明：（Ⅰ）存在(,),ab使得()()fg；（Ⅱ）存在(,),ab使得''()''().fg【详解】：证明：(1)设(),()fxgx在(,)ab内某点(,)cab同时取得最大值，则()()fcgc，此时的c就是所求点()()fg使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max(),()max()fcfxgdgx故有()()0,()()0fcgcgdfd，由介值定理，在(,)cd内肯定存在()()fg使得(2)由(1)和罗尔定理在区间(,),(,)ab内分别存在一点''1212,,()()ff使得＝＝0在区间12(,)内再用罗尔定理，即''''(,)()()abfg存在，使得.（20）（本题满分10分）将函数21()34fxxx展开成1x的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：-12-102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nnnnnnnfxxxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxfx记其中其中则01()(1)10212nnnxx故收敛域为：1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)xxxxxaxxxaxxxxaa本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021xxxxxaxxxaxxxxa的解.即距阵211100201401211aaa211100110001000340aaa方程组(3)有解的充要条件为1,2aa.当1a时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)T此时的公共解为：,1,2,xkk-13-当2a时，方程组(3)的系数距阵为11101110122001101440000111110000