3-4 牛顿运动定律的应用--皮带传送问题解析

皮带传送问题【模型解读】传送带问题为高中动力学问题中的难点，主要表现在两方面：其一，传送带问题往往存在多种可能结论的判定，即需要分析确定到底哪一种可能情况会发生；其二，决定因素多，包括滑块与传送带间的动摩擦因数大小、斜面倾角、传送带速度、传送方向、滑块初速度的大小及方向等．这就需要考生对传送带问题能做出准确的动力学过程分析．下面是最常见的几种传送带问题模型，供同学们参考．项目图示情景思考：滑块可能的运动情况有哪些？情景1情景2情景31．水平传送带动力学问题图解(1)可能滑块一直被加速．(2)可能滑块先加速后匀速．(3)还有其他结论吗？(1)v0v时，可能一直减速，也可能先减速再匀速．(2)v0v时，可能一直加速，也可能先加速再匀速．(1)传送带较短时，滑块一直减速达到左端．(2)传送带较长时，滑块还要被传送带传回右端．其中v0v和v0v两种情况下滑块回到右端时有何不同？2．倾斜传送带动力学问题图解项目图示情景思考：滑块可能的运动情况有哪些？情景1情景2(1)可能一直加速．(2)可能先加速后匀速．(3)还有其他结论吗？(1)可能一直加速．(2)可能先加速后匀速．(3)可能先以a1加速后以a2加速．项目图示情景思考：滑块可能的运动情况有哪些？情景3情景42．倾斜传送带动力学问题图解(1)可能一直加速．(2)可能先加速后匀速．(3)可能一直匀速．(4)可能先以a1加速后以a2加速．(1)可能一直加速．(2)可能一直匀速．(3)可能先减速后反向加速.例1如图所示，水平传送带A、B两端相距s＝3.5m，工件与传送带间的动摩擦因数μ=0.1.工件滑上A端瞬时速度vA=4m/s,达到B端的瞬时速度设为vB.(1)若传送带不动，vB多大？(2)若传送带以速度v(匀速）逆时针转动，vB多大？(3)若传送带以速度v(匀速）顺时针转动，vB多大？［答案］(1)3m/s(2)3m/s(3)见解析［解析］(1)传送带不动，工件滑上传送带后，受到向左的滑动摩擦力（Ff=μmg)作用，工件向右做减速运动，初速度为vA，加速度大小为a=μg=1m/s2，到达B端的速度vB==3m/s.(2)传送带逆时针转动时，工件滑上传送带后，受到向左的滑动摩擦力仍为Ff=μmg，工件向右做初速度为vA，加速度大小为a=μg=1m/s2减速运动，到达B端的速度vB=3m/s.asvA22②若v≥，工件由A到B，全程做匀加速运动，到达B端的速度vB==4.7m/s.③若＞v＞vA，工件由A到B，先做匀加速运动，当速度增加到传送带速度v时，工件与传送带一起作匀速运动速度相同，工件到达B端的速度vB=v.④若v≤时，工件由A到B，全程做匀减速运动，到达B端的速度vB==3m/s⑤若vA＞v＞，工件由A到B，先做匀减速运动，当速度减小到传送带速度v时，工件与传送带一起作匀速运动速度相同，工件到达B端的速度vB＝v.asvA22asvA22asvA22asvA22asvA22(3)传送带顺时针转动时，根据传送带速度v的大小，由下列五种情况：①若v＝vA，工件滑上传送带时，工件与传送带速度相同，均做匀速运动，工件到达B端的速度vB=vA.asvA22变式题：如图所示，一水平方向足够长的传送带以恒定的速度v1沿顺时针方向运动，一物体以水平速度v2从右端滑上传送带后，经过一段时间又返回光滑水平面，此时速率为v2'，则下列说法正确的是：()A．若v1v2，则v2'＝v1B．若v1v2，则v2'＝v2C．不管v2多大，总有v2'＝v2D．只有v1＝v2时，才有v2'＝v2v1v2AB解见下页双选解：v1v2物体向左匀减速运动和向右匀加速运动，加速度的大小均为a=μg.若v1v2，则物体先向左匀减速到0，位移为s，再向右匀加速到v1时，位移小于s，最后以v1做匀速运动返回光滑水平面。若v1v2，则物体先向左匀减速到0，位移为s，再一直向右匀加速返回到光滑水平面时，位移也为s，速度恰好等于v2。因此A、B正确C、D错误。注：还可以用速度时间图像来分析变式题2011·福建卷如图14－5甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1运行．初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带．若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v－t图象(以地面为参考系)如图14－5乙所示．已知v2＞v1，则()A.t2时刻，小物块离A处的距离达到最大B.t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大C．0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左D．0～t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用B单选[解析]结合图乙，在0～t1时间内，物体向左做匀减速直线运动，t1时刻运动到最左边，A错；在t1～t2时间内，物体向右做匀加速直线运动，但由于速度小于传送带的速度，物体与传播送带的相对路程仍在增大，t2时刻相对位移最大，B对；0～t2时间内，物体相对传送带向左运动，一直受到向右的滑动摩擦力，f＝μmg不变，但t2时刻以后物体相对传送带静止，摩擦力为0，CD错．即学即练:如图所示，A、B是竖直平面内的光滑弧面，一个物体从A点静止释放，它滑上静止不动的水平皮带后，从C点离开皮带做平抛运动，落在水平地面上的D点.现使皮带轮转动，皮带的上表面以某一速率向左或向右做匀速运动，小物体仍从A点静止释放，则小物体将可能落在地面上的A.D点右边的M点B.D点C.D点左边的N点D.从B到C小物体速度降为零，停在C点不下落AB双选例2如图7所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，皮带在电动机的带动下，始终保持以v0＝2m/s的速率运行．现把一质量为m＝10kg的工件(可视为质点)轻轻放在皮带的底端，经时间1.9s，工件被传送到h＝1.5m的高处，g取10m/s2.求工件与皮带间的动摩擦因数．图7解析设工件上升1.5m的过程中，加速运动的时间为t1，匀速运动的时间为t－t1，对加速过程分析x1＝12at21，v0＝at1匀速过程x2＝v0(t－t1)总位移x1＋x2＝3m以上几式联立得a＝2.5m/s2由牛顿第二定律得μmgcos30°－mgsin30°＝ma解得μ＝32.答案32AB(1)传送带顺时针方向转动时受力如图示：vNfmgmgsinθ－μmgcosθ=maa=gsinθ－μgcosθ=2m/s2S=at2/2saSt421622变式题、如图示，传送带与水平面夹角为370，并以v=10m/s运行，在传送带的A端轻轻放一个小物体，物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5，AB长16米，求：以下两种情况下物体从A到B所用的时间。（1）传送带顺时针方向转动（2）传送带逆时针方向转动解析ABv（2）传送带逆时针方向转动物体受力如图：Nfmg开始摩擦力方向向下,向下匀加速运动a=gsin370+μgcos370=10m/s2t1=v/a=1sS1=1/2×at2=5mS2=11m1秒后，速度达到10m/s，摩擦力方向变为向上Nfmga2=gsin370-μgcos370=2m/s2物体以初速度v=10m/s向下作匀加速运动S2=vt2+1/2×a2t2211=10t2+1/2×2×t22t2=1s∴t=t1+t2=2s即学即练传送带与水平面夹角为37°，皮带以12m/s的速率运动，皮带轮沿顺时针方向转动，如图1所示．今在传送带上端A处无初速度地放上一个质量为m的小物块，它与传送带间的动摩擦因数为0.75，若传送带A到B的长度为24m，g取10m/s，则小物块从A运动到B的时间为多少？图1解析小物块无初速度放在传送带上时，所受摩擦力为滑动摩擦力，方向沿斜面向下，对小物块用牛顿第二定律得mgsinθ＋μmgcosθ＝ma解得a＝12m/s2设小物块加速到12m/s运动的距离为x1，所用时间为t1由v2－0＝2ax1得x1＝6m由v＝at1得t1＝1s当小物块的速度加速到12m/s时，因mgsinθ＝μmgcosθ，小物块受到的摩擦力由原来的滑动摩擦力突变为静摩擦力，而且此时刚好为最大静摩擦力，小物块此后随皮带一起做匀速运动．设AB间的距离为L，则L－x1＝vt2解得t2＝1.5s从A到B的时间t＝t1＋t2解得t＝2.5s.答案2.5s即学即练．2011·西城一模如图所示，倾角为θ的传送带沿逆时针方向以加速度a加速转动时，小物体A与传送带相对静止，重力加速度为g.下列说法正确的是()A．只有agsinθ，A才受沿传送带向上的静摩擦力作用B．只有agsinθ，A才受沿传送带向上的静摩擦力作用C．只有a＝gsinθ，A才受沿传送带向上的静摩擦力作用D．无论a为多大，A都受沿传送带向上的静摩擦力作用B单选[解析]物体A与传送带相对静止，倾角为θ的传送带沿逆时针方向以加速度a加速转动时，A有沿斜面向下的加速度a，对A受力分析可知，只有agsinθ，A才受沿传送带向上的静摩擦力作用，B正确．例题3.如图所示水平传送装置由轮半径均为的主动轮O1和从动轮O2及传送带等构成。两轮轴心相距L=8.0m，轮与传送带不打滑。现用此装置运送一袋面粉，已知面粉袋与传送带间的动摩擦因数为μ=0.4，这袋面粉中间的面粉可不断地从袋中渗出。（1）当传送带以v0=4.0m/s的速度匀速运动时，将这袋面粉由左端O2正上方的A点轻放在传送带上后，这袋面粉由A端运送到O1正上方的B端所用时间为多少？（2）要想尽快将这带面粉由A端送到B端（设初速度仍为零），主动轮O1的转速至少应为多大？（3）由于面粉的渗漏，在运送这袋面粉的过程中会在深色传送带上留下白色的面粉的痕迹。这袋面粉在传送带上留下的痕迹最长能有多长(设袋的初速度仍为零)?此时主动轮的转速应满足何种条件？m1/RBAO2O1解：BAO2O1设面粉袋的质量为m，其在与传送带产生相对滑动的过程中所受的摩擦力f=μmg。故而其加速度为:2m/s04.gm/fa（1）若传送速带的速度v带=4.0m/s，则面粉袋加速运动的时间，s011.a/vt带在t1时间内的位移为，m0221211.ats其后以v=4.0m/s的速度做匀速运动s2=lAB－s1=vt2，解得t2=1.5s，运动的总时间为t=t1+t2=2.5s（2）要想时间最短，m应一直向B端做加速运动，221talAB可得s02.t此时传送带的运转速度为m/s08.tav4r/s)(r/min2402或可得由nnRrvBAO2O1（2）要想尽快将这带面粉由A端送到B端（设初速度仍为零），主动轮O1的转速至少应为多大？（3）传送带的速度越大，“痕迹”越长。当面粉的痕迹布满整条传送带时，痕迹达到最长。即痕迹长为△s=2L+2πR=18.0m在面粉袋由A端一直加速运动到B端的时间内，传送带运转最小的距离m026.lssAB带又由（2）中已知min/39020.2rntsrnst则：故而得（或6.5r/s）（3）由于面粉的渗漏，在运送这袋面粉的过程中会在深色传送带上留下白色的面粉的痕迹。这袋面粉在传送带上留下的痕迹最长能有多长(设袋的初速度仍为零)?练习3．如图所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度为L＝8m，传送带的皮带轮的半径均为R＝0.2m，传送带的上部距地面的高度为h＝0.45m，现有一个旅行包（视为质点）以v0＝10m/s的初速度水平地滑上水平传送带．已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数为μ＝0.6．皮带轮与皮带之间始终不打滑．g取10m/s2．讨论下列问题：⑴若传送带静止，旅行包滑到B端时，人若没有及时取下，旅行包将从B端滑落．则包的落地点距B端的水平距离为多少？⑵设皮带轮顺时针匀速转动，若皮带轮的角速度ω1=40rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离又是多少？LhBAv0⑶设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动，写出旅行包落地点距B端的水平距离s随皮带轮的角速度ω变化的关系式并画出s-ω的图象．ω/rad·s-1s/m0解：（1）旅行包做匀减速运动2m/s6ga旅行包到达B端速度为m/s2220