怎样推导压杆的临界力和临界应力公式

06、基本知识怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考）同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（[e-mail]），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。1*问题的提出及其对策1.1问题的提出及其对策试计算长度为400mm，宽度为10mm，厚度为1mm的钢锯条，在一端固定、一端铰支的情况下，许用的轴向压力。材料的许用应力为160MPa。解：1、按轴向拉压强度计计算[]2/160160120mmNMPammmmFAFNN==≤×==σσ2、按压杆稳定临界力公式计算()43335120121121mmmmmmbhIZ=××==()()NmmmmMPalEIFCR28.12340021020000024222=××××==πmπ分析：1、按轴向拉压杆的强度条件计算结果，该钢板尺可以安全承压3.2kN。这是一个什么概念呢？一袋水泥重50kg，对应重力NsmkgmgW500/10502=×==，即该钢板尺可以安全承压6.4袋水泥，这显然是不可能的。2、按压杆稳定临界力计算公式的结果，该钢板尺在承压12.28N时，就可能变弯了。这又是一个什么概念呢？一小袋食盐重0.5kg，对应重力NsmkgmgW5/105.02=×==，即该钢板尺当承压两袋半食盐时，就可能由直线平衡状态，转变为弯曲平衡状态了。这与实际情况差不多。结论：对于钢板尺这样的细长杆件，在承受压力时，一定不要用轴向拉压强度条件来判断它的安全承载力，这会出大问题的。需要按弯曲平衡建立力学模型，按梁的理论来分析。1.2压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比在材料力学里，分析杆件的强度、刚度和稳定性是十分重要的课题，它们是材料力学的核心内容。kNNmmNmmmmFN2.33200/1601202==××≤压杆的稳定性分析，与强度和刚度的分析的侧重面不同。在强度和刚度分析中，重点在推导工作量的计算公式，如：轴向拉压杆的拉压应力AFN=σ计算公式，连接的挤压应力jyjyjyAF=σ和剪切应力jjjAF=τ计算公式，扭转的剪应力ρτρ⋅=IT计算公式，梁的正应力yIMZ⋅=σ和剪应力bISFZZQ*=τ计算公式；轴向拉压杆的伸长量EAlFNl=∆计算公式，扭转的扭转角ρϕGITl=计算公式，梁的挠度ZEIMy−=′′和转角∫−=′=dxEIMyZθ计算公式等，它们都是杆件的实际或预计的工作量。而在强度条件许用应力工作应力≤和刚度条件许用应变工作应变≤表达式不等号大于端的许用值（用方括号括起来的量），如[]σ、[]τ和[]l∆、[]ϕ、[]y、[]θ等，其中，两种许用应力是由材料试验获得，并由各种规范所确认；各种许用变形值的大小，则与结构的功能（性质、用途等）分不开。然而，在稳定性分析中，重点是推导位于稳定表达式[]crNAFσσ≤=中，位于不等号大于端≤的许用值[]crσ中的压杆临界应力crσ。而压杆的工作应力的求法与轴向拉压杆的完全一样，即仍旧用公式AFN=σ，因为压杆在失稳之前是轴向受压杆。而压杆的许用临界应力定义为[]stcrcrnσσ=，式中的压杆临界应力与材料无关，它是实际的、具体的“压杆装置”的函数，对每一根压杆都要单独计算才行。因此，压杆稳定分析的重点是针对各种各样的“压杆装置”，提出几种简化的力学计算模型，然后从理论上推导出它们的临界压力Fcr计算公式，分析计算出临界压力Fcr后，按轴向拉压杆的应力计算公式AFN=σ，用临界压力Fcr代替轴力FN，即可得到压杆的临界应力计算公式AFcrcr=σ。2压杆临界压力Fcr的计算公式2.1压杆稳定的力学模型——弯曲平衡生活和生产的常识告诉我们：压杆在承受的压力比较小时，处于直线平衡状态；当压力逐渐增大到某一值时，压杆会突然变弯，处于微弯曲的平衡状态，称为临界平衡；当压力超过某一值时，压杆会突然变弯折断，退出工作。使压杆处于临界平衡的压力称为临界压力。计算表明，临界压力远远小于按轴向拉压杆计算得出的许用压力。如：一根长300mm，宽20mm，厚1mm的钢板尺，设其材料的许用应力为160Mpa，则按轴向拉压杆强度公式计算，[]σσ≤=AF，[]NAF3200160120=××=≤σ，即该钢板尺可以安全地承受3200N的压力。然而，常识告诉我们，把钢板尺直立于桌面上，轻轻用手指一压它就会弯曲。这种现象在力学上称为失稳（丧失稳定性），它可用压杆稳定理论予以说明。如果将钢板尺按力学模型：两端铰支的压杆装置，进行压杆稳定计算，可得到丧失稳定的压力为()NmmmmMPalEIFcr7.3630067.120000024222=××==ππ，此值接近于钢板尺变弯的实际值。式中的惯性矩()43367.11212012mmmmmmbhIz=×==。得到钢板尺丧失稳定的压力为36.7N，仅是按强度计算的安全压力的1/87。差异如此之巨，我们得高度重视。以上的计算结果表明，对于较长的压杆，按强度计算存在极大的风险。事实上，生活常识告诉我们，压杆越长越容易变弯而丧失稳定性，因此，对于较长的压杆，按强度计算是违背事实的，必须另辟蹊径，寻找压杆稳定分析的力学模型。究其原因，在强度计算中，钢板尺处于直线平衡状态，属于轴向拉压变形，应该用杆的轴向拉压理论来分析；而压杆稳定分析的研究对象是处于微弯平衡状态，属弯曲变形，显然，应该用梁的理论来分析。下面先谈谈梁的平衡理论，然后，分别就1、两端铰支、2、一端固定一端自由、3、一端固定一端铰支、4、两端固定，这四种压杆力学模型进行力学、数学分析。2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程图2-2-1说明梁的挠曲微分方程的来历和相关量的正负号规定。可一目了然。分析是从梁的dx微段的曲率dxdθ开始的，其分析推导过程在研究梁的变形的内容中有所表述。在下面的图2-2-2中，四种压杆装置（两端铰支、一端固定一端自由、一端固定一端铰支和两端固定）的力学模型，及其三种状态（稳定平衡、临界平衡和丧失稳定）可一目了然。图2-2-3则是四种压杆模型在临界状态下的支反力种类及其真实方向，亦可一目了然。lFFcr4-1稳定平衡lF=Fcr4-2临界平衡lFFcr4-3丧失稳定模型4两端固定的压杆装置μl=0.5l微弯曲线半个正弦波为μl=0.5llFFcr3-1稳定平衡lF=Fcr3-2临界平衡lFFcr3-3丧失稳定模型3一端固定一端铰支的压杆装置微弯曲线半个正弦波为μl=0.7lμl=0.7llFFcr1-1稳定平衡lF=Fcr1-2临界平衡lFFcr1-3丧失稳定模型1两端铰支的压杆装置微弯曲线半个正弦波为μl=lμl=l图2-2-2四种典型压杆的力学模型及其三种状态lFFcr2-1稳定平衡lF=Fcr2-2临界平衡lFFcr2-3丧失稳定模型2一端固定一端自由的压杆装置微弯曲线半个正弦波为μl=2lμl=2l图2-2-1梁的挠曲微分方程dx梁段弯曲及挠曲线yxMMdθdx注1：正弯矩箭头指向y负。()[]()EIxMyydxd=′+′′=2/321θ()[]yyy′′±≈′+′′平坦曲线2/321按左图得：()EIxMy−=′′梁的挠曲微分方程注2：正曲率曲线凸向y负。图示为负曲率。上述内容对于分析压杆，正确设置压杆两端支反力的方向和转向，导出临界应力公式十分重要，否则，压杆两端支反力的方向和转向设定错误，将无法导出正确的临界力公式。请读者好好加深理解。2.3按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力为了确定长l、两端铰支的细长压杆AB临界力，研究图2-3-1。设作用在杆上端的压力恰为临界力F=Fcr，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里研究过，并在2.1节什么它不能够解释钢板尺等压杆突然变弯的现象。），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。2.3.1截面弯矩表达式两端铰支压杆装置：下端固定铰支端有2个约束反力（FNA、FQA），上端链杆支座有1lF=Fcr模型1两端铰支lF=Fcr模型3一端固定一端铰支图2-2-3四种典型压杆微弯平衡支反力及其真实方向模型4两端固定lF=Fcr模型2一端固定一端自由lF=Fcr注1：模型1、2为静定结构注2：模型3、4为超静定结构，其支反力种类由支座形式确定；方向由变形曲线确定：弯矩箭头指向挠曲线的凹侧；剪力可参考悬臂梁受集中力的情况，即剪力指向恰恰与弯矩指向相反。如下图所示：FcrlFcrxyBAlFcrFcrxyδFcrδABlFcryFcrMABAxFQAFQBABxlFcrFcrMBFQAMAFQByFFQAAMA悬臂梁挠曲线与支反力方向关系图2-3-1两端铰支压杆临界力分析lFcr临界微弯平衡yxABxyFcryyxAFcrFN=FcrM(x)x截面内力分析x()()13.2−=33yFxMcr个约束反力（FQB），共3个约束反力未知数（FNA、FQA和FQB），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。故，两端铰支压杆装置是静定结构，支座反力完全可以用临界力Fcr来表达。如图2-3-1所示，由图中x长的粱段平衡，可得距原点为x、挠度为y的任意截面上弯矩为()()13.2−=33yFxMcr2.3.2压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力σp，AB杆弯曲后的挠曲线可以用梁的弯曲变形公式()()aEIyFEIxMdxydcr33−=−=22来表达。在如图2-3-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为()()aEIyFEIxMdxydcr33−=−=22令()bEIFkcr33=2，则式（a）可写为()cykdxydx33022=+这是一个常系数二阶齐次线性微分方程，其通解是()dkxBkxAy33cossin+=式中，A、B是积分常数，k为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定。2.3.3利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力Fcr对于两端铰支的压杆，A端边界条件：x=0、y=0，将其代入（d）可得B=0，于是通解（c）改写为()ekxAy33sin=再由B端边界条件：x=l、y=0，将其代入（e）得()fklA330sin=若要满足（f），只有两种可能：A=0或sinkl=0。从问题的力学意义来看，若A=0，则通解（e）成为y=0，这表示杆AB没有弯曲，与压杆处于微弯状态的前提条件相矛盾。因此，只有()gkl330sin=成立。要（g）成立，必须()()hnnkl3333,2,1,0==π，即()hkl′=3πππ3,2,0，由此得()()()inEIFlnkcrb3333,2,1,0===π，即()()iEIFlllkcrb′==33ππ2,,0()()jnlEInFcr3333,2,1,0222==π，即()jlEIlEIFcr′=322224,,0ππ从理论上讲，n是任意的整数，故临界力Fcr的数值有很多个。但是，从工程实际出发，有意义的是Fcr的最小值，因为荷载一达到此值时，压杆就会丧失稳定性。取n的最小值时，不能取n=0，因为此时的Fcr=0，成为没有意义的结果。故有意义的最小值应取n=1，于是得到两端铰支压杆装置的临界力为()23.2122222−=×=33lEIlEIFcrππ（2.3-2）式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲失稳，所以公式中的惯性矩I应该取其横截面的最小惯性矩Imin。从公式（2.3-2）可以得出，临界力Fcr与杆长l的平方成反比。这就是说，杆越细长，其临界力越小，即压杆越容易失稳。现在又得出，两端铰支细长压杆的长度系数μ=1。长度系数μ是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里μ=1表示两端铰支细长压杆微弯曲线的半个正弦波长恰好等于杆长。2.3.4将k值代入微分方程通解，从而导出压杆挠曲线