高考数学复习课件之解三角形

高三大一轮复习学案第1页返回导航把脉高考理清考情考点研析题组冲关素能提升学科培优课时规范训练高三大一轮复习学案第2页返回导航第6课时正弦定理、余弦定理及解三角形高三大一轮复习学案第3页返回导航考纲点击1.利用正、余弦定理解三角形或与之有关的问题.2.利用正、余弦定理及其推广形式解决三角形的边角关系问题.3.利用正、余弦定理解决有关三角形的实际应用.高三大一轮复习学案第4页返回导航1．(2015·高考安徽卷)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．解析：在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°.∴∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得ABsinC＝ACsinB，即6sin60°＝ACsin45°，解得AC＝2.高三大一轮复习学案第5页返回导航答案：2高三大一轮复习学案第6页返回导航2．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.高三大一轮复习学案第7页返回导航(2)由已知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.高三大一轮复习学案第8页返回导航3．(2015·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cosB＝33，sin(A＋B)＝69，ac＝23，求sinA和c的值．高三大一轮复习学案第9页返回导航解：在△ABC中，由cosB＝33，得sinB＝63，因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝69.因为sinC＜sinB，所以C＜B，可得C为锐角，所以cosC＝539，高三大一轮复习学案第10页返回导航因此sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝63×539＋33×69＝223.由asinA＝csinC，可得a＝csinAsinC＝223c69＝23c.又ac＝23，所以c＝1.高三大一轮复习学案第11页返回导航考点一利用正、余弦定理求边和角命题点正确选用正、余弦定理正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝；b2＝；c2＝.b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosCasinA＝bsinB＝csinC高三大一轮复习学案第12页返回导航变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；④a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA＝bsinB＝csinC.cosA＝；cosB＝；cosC＝.b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab高三大一轮复习学案第13页返回导航1．(2015·高考北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC＝________．高三大一轮复习学案第14页返回导航解析：由正弦定理得sinAsinC＝ac，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴sin2AsinC＝2sinAcosAsinC＝2·sinAsinC·cosA＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：1高三大一轮复习学案第15页返回导航2．(2014·高考湖北卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝__________．解析：由正弦定理，得asinA＝bsinB.把A＝π6，a＝1，b＝3代入，解得sinB＝32.因为ba，所以BA，结合题意可知B＝π3或2π3.答案：π3或2π3高三大一轮复习学案第16页返回导航3．(2015·高考课标卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求sinBsinC；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.高三大一轮复习学案第17页返回导航解：(1)由正弦定理，得ADsinB＝BDsin∠BAD，ADsinC＝DCsin∠CAD.因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以sinBsinC＝DCBD＝12.高三大一轮复习学案第18页返回导航(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝32cosB＋12sinB.由(1)知2sinB＝sinC，所以tanB＝33，所以∠B＝30°.高三大一轮复习学案第19页返回导航4．如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．高三大一轮复习学案第20页返回导航解：(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝437.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝437×12－17×32＝3314.高三大一轮复习学案第21页返回导航(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC＝7.高三大一轮复习学案第22页返回导航1．正、余弦定理的选用方法(1)已知两角及一边，可用正弦定理．(2)已知一角及两边，可用正弦定理或余弦定理．(3)已知三边，可用余弦定理．高三大一轮复习学案第23页返回导航2．已知三角形两边及一边对角(a，b及A)解三角形时，会出现一解、两解、无解的情况：A＞90°A＝90°A＜90°a＞b一解一解一解a＝b无解无解一解ba＞bsinA两解a＝bsinA一解a＜b无解无解a＜bsinA无解高三大一轮复习学案第24页返回导航高三大一轮复习学案第25页返回导航考点二判断三角形的形状命题点边化角或角化边转化方法1．△ABC中，三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形状为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上均有可能高三大一轮复习学案第26页返回导航解析：选A.依题意知，c边最大．∵a3＋b3＝c3，∴ac3＋bc3＝1，∴0＜ac＜1，0＜bc＜1，∴ac3＜ac2，bc3＜bc2，∴ac2＋bc2＞1，即a2＋b2－c2＞0，cosC＝a2＋b2－c22ab0∴0＜C＜π2，△ABC的形状为锐角三角形．高三大一轮复习学案第27页返回导航2．(2016·江南十校联考)已知△ABC的内角A、B、C成等差数列，且A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列命题中正确的有________(填所有正确的命题序号)．①B＝π3；②若a、b、c成等比数列，则△ABC为等边三角形；③若a＝2c，则△ABC为锐角三角形；④若tanA＋tanC＋3＞0，则△ABC为钝角三角形．高三大一轮复习学案第28页返回导航解析：∵内角A、B、C成等差数列，∴A＋C＝2B.又A＋B＋C＝π.∴B＝π3，故①正确；对于②，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac.又b2＝ac，∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝π3，∴△ABC为等边三角形；②正确．高三大一轮复习学案第29页返回导航对于③，∵b2＝a2＋c2－2accosB＝4c2＋c2－2c2＝3c2，∴b＝3c，此时满足a2＝b2＋c2，说明△ABC是直角三角形；对于④，tanA＋tanC＝tan(A＋C)(1－tanAtanC)，∵A＋C＝2π3，∴tanA＋tanC＝－3＋3tanAtanC，∵tanA＋tanC＋3＝3tanAtanC＞0，又在△ABC中，A、C不能同为钝角，∴A、C都是锐角，∴△ABC为锐角三角形．③④错误．答案：①②高三大一轮复习学案第30页返回导航(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系式，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系式，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．高三大一轮复习学案第31页返回导航高三大一轮复习学案第32页返回导航考点三与三角形面积有关的问题命题点面积公式的选用S＝12absinC＝12bcsinA＝，S＝12ah(h为a边上的高)，S＝(R为△ABC外接圆半径)S＝abc4R，S＝p（p－a）（p－b）（p－c）.p＝12（a＋b＋c）12acsinB2R2sinA·sinB·sinC高三大一轮复习学案第33页返回导航1．(2016·陕西安康一模)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且asinA＝2c3.(1)求角C的大小；(2)若c＝7，且△ABC的面积为332，求a2＋b2的值．高三大一轮复习学案第34页返回导航解：(1)∵asinA＝csinC，∴2c3＝csinC，∴sinC＝32.∵△ABC是锐角三角形，∴C＝π3.高三大一轮复习学案第35页返回导航(2)S△ABC＝12absinC＝332，∵C＝π3，∴ab＝6.由余弦定理得a2＋b2－2abcosπ3＝7，∴a2＋b2＝13.高三大一轮复习学案第36页返回导航2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求角C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②由①②得cosC＝12，故C＝60°，BD＝7.高三大一轮复习学案第37页返回导航(2)四边形ABCD的面积S＝12AB·DAsinA＋12BC·CDsinC＝12×1×2＋12×3×2sin60°＝23.高三大一轮复习学案第38页返回导航与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．高三大一轮复习学案第39页返回导航考点四解三角形的实际应用命题点1三角形实际应用中的有关概念1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫，在水平线下方的角叫(如图①)．仰角俯角高三大一轮复习学案第40页返回导航2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．(2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．高三大一轮复习学案第41页返回导航4．坡度(1)定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．高三大一轮复习学案第42页返回导航命题点2求距离或高度1．(2016·广东佛山一模)如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到：CD＝2，CE＝23，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A、B两点之间的距离为_____