数列不等式的证明方法

数列不等式证明的几种方法数列和不等式都是高中数学重要内容，这两个重点知识的联袂、交汇融合，更能考查学生对知识的综合理解与运用的能力。这类交汇题充分体现了“以能力立意”的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则。下面就介绍数列不等式证明的几种方法，供复习参考。一、巧妙构造，利用数列的单调性例1.对任意自然数n，求证：。证明：构造数列。所以，即为单调递增数列。所以，即。点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可构造数列，通过数列的单调性解决。二、放缩自然，顺理成章例2.已知函数，数列的首项，以后每项按如下方式取定：曲线处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行。求证：当时：（1）；（2）。证明：（1）因为，所以曲线处的切线斜率为。又因为过点（0，0）和两点的斜率为，所以结论成立。（2）因为函数，所以，即，因此；又因为。令，且。所以因此，所以点评：本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题，在证明过程中多次运用放缩，放缩自然，推理逻辑严密，顺理成章，巧妙灵活。三、导数引入，更显神威例3.求证：证明：令，且当时，，所以。要证明原不等式，只须证。设，所以。令，所以。设，所以上为增函数所以，即所以同理可证所以。对上式中的n分别取1，2，3，…，，得。点评：导数进入中学数学新教材，为解决数列与不等式的交汇问题展示了新的思路和广阔的空间，其解题方法新颖独特，尤其是对数、指数次幂形式出现的一类问题，更显导数在解题中的工具性和独特的神威。四、裂项求和，简捷明了例4.设是数列的前n项和，且（1）求数列的首项，及通项；（2）设，证明。解：（1）首项（过程略）。（2）证明：将，得，则点评：本题通过对的变形，利用裂项求和法化为“连续相差”形式，从而达到证题目的，整个证题过程简捷明了。五、独辟蹊径，灵活变通独辟蹊径指处事有独创的新方法，对问题不局限于一种思路和方法，而是善于灵活变通，独自开辟新思路、新方法。例5.已知函数。设数列，数列满足（1）求证：；（2）求证：。证明：（1）证法1：由令，则只须证；易知，只须证。由分析法：。因为，，所以，得证。证法2：由于的两个不动点为。又，所以所以所以，由上可求得，因此只需证，即证：又（2）由（1）知，所以故对任意。点评：本题（1）中法1通过构造新数列，将复杂的问题转化为证数列为递减数列，进而用分析法展示出证明思路的魅力；法2则是独辟蹊径利用“不动点”，求出通项公式，借助二项式定理放缩给出证明。其解题过程灵活变通