浅谈数学思想方法与数学教学

1浅谈数学思想方法与中学数学教学金光中学林泽铃数学起源于人类生产和其它社会实践。数学思想方法伴随着数学的产生而产生，伴随着数学的发展而发展。由此可见，有关数学思想方法的历史和数学的发展历史是同样悠久的。种种资料显示，历来的数学家和教育家都非常重视数学思想方法的作用。长期以来,传统的数学教学方法在中学数学教学过程中起着主导作用,不少数学教育工作者对传统的数学课堂教学作了积极的探索，得出了很多宝贵经验，并取得了一定的成绩。我们在吸取他人经验的同时，要敢于突破传统教育观念的束缚，现结合作者本人的数学实践，讨论如何突出数学思想方法在教学过程中的重要作用的问题，阐述关于在教学中渗透数学思想方法的若干思路。一、挖掘蕴涵的数学思想方法我们的数学课堂学什么？运算、概念……，是的，这样的数学基础知识对一个人的数学素质是非常重要的，但它是不是影响学生以后一生的学习、生活和工作呢？要回答这样的问题，先让我们来看一组统计数字：学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占1%，使用数学的人占29%，基本不用或很少用数学的占70%。再让我们来看一则特具讽刺意味的风景：以高分数考上名牌大学的高考宠儿们，当他们大学毕业时，再让我们回过头做一做曾经手到擒来的高考数学试题时，留在他们脸上却是一片茫然。面对如此的现实，我们不难发现，在学习数学的过程中，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的并不是数学知识，而是数学思想方法。何为数学思想方法？所谓数学思想，就是对数学概念，方法和理论的本质认识，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想，它是数学科学和数学学科固有的，是数学的灵魂；所谓数学方法，就是数学思想指导下处理数学问题的具体手段和工具，是数学思想的具体化反映，它是数学的根本。在一定的数学知识基础上，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程。与这种积累达到一定程度时就会产生飞跃，从而上升为数学思想。数学思想对数学方法起着指导作用，而数学方法较之数学思想具有更大的灵活性，它可促进数学思想的发展。因此，人们通常将数学思想和方法看成一个整体概念——数学思想方法。在现实的数学教学过程中，由于数学思想方法比其他数学知识更抽象、更概括，加上它的隐蔽性，所以学生难以从教材中独立获取，因此，这就需要教师对数学思想方法的教学应高度重视，在教学中不失时机，地进行潜移默化，为学生创设适宜环境，让他们在“随风潜入夜，润物细无声”中领会基本的数学思想。在中学数学教学中，有一些数学思想渗透在各类知识之中，在教学的各阶段都起着重要的作用。而从当前的教学实际来看，这一重要的教学内容，恰恰受到不少师生的忽视。正是这一情况的存在，制约着中学数学教学质量的提高，影响着素质教育通过课堂教学这一主渠道得以落实。在中学阶段，学生应掌握的主要有以下八种数学思想方法：符号思想方法，分类讨论思想方法，化归思想方法，数形结合思想方法，函数思想方法，方程思想方法，随机思想方法，运用数学思想方法。在此分别简述如下：1、符号思想方法符号思想是指用符号及符号组成的数学语言来表达数学的概念、运算和结论的数学思想，是序化思想的一种体现，其主要特点是：简明性，直观性。例如，分式基本性质，用数学符号表示是：bmam=ba，2mbma//=ba（其中m是不等于零的整式），显然，它比用文字陈述要简明、直观得多；2、分类讨论思想方法我们所处的世界中一切事物都存在于同其他事物多种多样、错综复杂的普通联系之中，他们的本质和规律性也就会在这些联系中表现出来了。要在事物的相互联系中认识事物，我们常常使用“分类”这一自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。数学中则依据数学对象属性的不同，将数学对象分为不同的种类，以便于人们把复杂的事物加以合理分类，然后一类一类地去加以考察研究，这是体现在中学数学中的重要思想方法。教师在教学过程中应做有心人，在教学中采用示范、指导等方式，使学生学会分类处理复杂问题的思想。这种做法，在讲解数学基础知识时就应加以总结。例如讲解求χ的绝对值：当χ＞0时，|χ|=χ；当χ=0时，|χ|=0；当χ＜0时，|χ|=-χ。这里就体现了分类讨论研究的思想方法。在高中阶段，含有参数的数学问题处于相当的地位，这对提高学生的敏捷性及数学素质，成为不可缺少的内容。它针对参数在一定范围内不同类别的取值，会产生不同的效果进行分类讨论研究以及整体考虑，即进行归纳。分类讨论研究的思想方法，不仅是数学教学，在其他学科的教学和实际生活中处处用到，学生应该通过数学的学习过程，逐步形成这一有用的思想方法。3、化归思想方法化归思想方法是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题解答的数学思想。这是反映数学技巧与手段的十分重要的、得到普遍运用的数学思想。利用此思想方法，在解决数学问题时且直接解答难以进行时，应把陌生问题熟悉化；把复杂问题简单化。例如，经常采用化高次方程为低次方程、化多元问题为单元问题、化立体问题为平面问题等具体做法来简化。例：设m，n，k是自然数且n≥k,m≥k,证明：组合恒等式C0nCkm+C1nC1km+…+CknC0m=Ckmn分析：组合的许多公式都有现实问题的原型。对这样一个恒等式，如果我们能够构造一个具有两种解法的实际组合问题（即这一数学模型的现实原型），使得其中一种解法与等式左边相对应，另一种解法与等式右边相对应，那么问题就得到解决。事实上，可考虑下面的组合问题：一年级有n名排球运动员，二年级有m名排球运动员，从两个年级共选出k名排球运动员参加校际竞赛，问有多少种选法？解法一：考虑排球运动员来自哪个年级，相当于从（m+n）名排球运动员中选出k名排球运动员，所以有Ckmn种不同选法。解法二：考虑排球运动员来自不同年级，则选取方法有k+1类：当一年级选出j个（o≤j≤k）时，二年级选出（k－j）个，这时有CjnCjkm种不同选法，所以共有C0nCkm+C1nC1km+…+CknC0m种不同选法。这种解法的答案必须是相等的，因而所要证明的恒等式成立。4、数形结合思想数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，同时也是我们数学的基石。在从十八世纪开始，笛卡尔就把“数”与“形”通过直角坐标系建立了密切的关系，首创在直角坐标平面上研究函数和几何等问题。在中学数学教材中，从始至终都贯穿着数形结合的思想，因此，在数学教学中，数形结合的结果，更有利学生理解数学知识，一旦学生形成了数形的思想方法，处理数学问题的能力就会更强。在中学数3学教学的整个过程中，特别是在教学函数和解析几何阶段，教师要处处提示学生认识数形结合的好处，帮助学生建立起数形结合的思想方法，这无疑是让学生掌握一种解决数学问题的锐利武器，学生对这一武器运用是否熟练，往往体现了学生数学能力的高低。下面就举一个例说明数形结合思想方法的好处。例：如果方程22xx=χ+b有解，试求参数b的取得范围；又若此方程有唯一解，则b的取值范围如何？分析：本题如直接用代数方程讨论相当繁琐。下面通过数形结合方法，将求解的问题映射成坐标平面上的几何问题来处理，显得异常简单。我们把原方程左边看成一个函数y=22xx，它是一个半圆（y≥0）；右边也看成一个函数y=x+b，其图像是斜率为1的直线，当参数b（截距）变动时，形成一个直线族。于是原方程是否有解，等价于上述直线与半圆是否相交；若相交且只有一个交点，则说明方程有唯一解。当直线与半圆相切时，该直线到圆心（1，0）的距离为半径1，由于△PAB是等腰直角三角形，容易求出这时b=-1+2，于是借助于几何直观，我们容易得出如下结论：当-2≤b＜2－1时，直线与半圆有交点，即原方程有解；当-2≤b＜0或b=2－1时，直线与半圆有唯一交点，即原方程有唯一解，如图所示。上一例子告诉我们，根据方程结构的特征，构造出相应的几何图形，并利用（解析）几何的知识来研究解决问题，可以化抽象为直观，有助于显露出问题的内在联系。借助于几何直观可以提供简捷的解题思路，避免一些复杂运算和字母取值范围的讨论，使问题求解更加顺利。著名的数学家华罗庚教授曾专门写诗称颂数形结合的重要意义，他写道：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直接，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离两家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。”5、函数思想方法函数是现代数学的精髓，中学几何内容中的轨迹曾使不少中学生感到困惑，但用函数来描述，就显然很自然易懂。特别在高中阶段，教师若不注重引导学生建立函数的思想方法，那是无法学习高中数学的，更不能指望他们用函数的观点来处理面对的各种实际问题。6、方程思想方法方程思想方法指的是根据实际问题建立方程并求解方程的基本数学思想。在中国古代数学中，解答数学应用问题主要是凭经验和技巧，缺乏一个适用各类应用问题的一般解法。在现代数学中引入字母代表未知数之后，应用问题中的等量就可用未知数和符号组成的等式即方程来表示，解答方程，应用问题也就得出了答案。在中学数学教学中，应通过方程、方程组以及不等式、不等式组的解法，以及动用方程解答各类实际应用问题，培养学生学会方程求解的思想方法，并熟练运用。7、随机思想方法y=x+2-1y=xy=22xxy=x-24随机思想早已应用于工农业生产、各经济领域、军事领域和科学研究及现代化生活各个领域，作为预测和决策的根据。在数学教学中，注重向学生渗透随机思想，对学生今后的人生道路将起到领路的作用。8、应用数学思想方法（1）数学模型思想。数学模型思想是用数学解决实际问题的最基本的方法——数学模型方法的指导思想，处于所有数学之心脏，也处于某些最抽象的纯数学的核心之中，具备实践性、实用性、综合性、简单性等特点。现实生活中的人口增长、银行复利、分期付款等与日常生活相关的问题都可以通过数学模型来解决。（2）优化思想。在高度重视素质教育的今天，优化思想指导下的“最优化”方法在解决现实生活中各种问题显得特别重要。我国经济日益发达，经济方面的数学问题已日渐成为人们的常识，如果我们的数学教学仍然只满足于“思维体操”的功能，不管实际应用，恐怕要落后时代，误人子弟。因此，在数学教学中，重视应用数学思想方法已不容忽视。二、数学思想方法教学应该遵循的原则1、渗透性原则正因为数学知识是“点石成金”后的金，而数学思想方法才是“点石”之指，这就要求我们在数学知识教学的同时，必须注重数学思想方法的有机渗透和充分发挥其自身具有的统帅作用。只有这样，才能有助于学生形成一个既有肉体又有灵魂的活的数学知识结构，从而不仅会促进学生数学能力的发展，而且还会推动学生思维品质乃至整体素质的提高。所谓渗透，就是在数学教学时，必须以数学知识为载体，把藏于知识背后的思想方法显示出来，通过逐步积累，让学生对数学思想方法的认识由浅入深，由表及里，渐渐地达到一定的高度。因址，在数学教学过程中，对思想方法的教学应做一个“渗透”的有心人。2、渐进性原则古往今来，世人给我们留下的数学思想是非常丰富的。这些数学思想与我们所教学的数学知识一样，有难有易。因此，数学思想方法教学必须结合两个实际，即教材实际和学生实际。而数学思想方法是融合在数学知识之中的，所以这就需要我们教师全面地熟悉教材，对教材中所反映的数学思想要有明确的认识，对教材内容从思想方法的角度作认真分析，在教学中不失时机地抓住机会，不断地一点一滴地再现有关数学思想方法，由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想的教学，做一个“层次”的选择者。3、明确性原则从数学思想方法教学的整个过程看，不明确地渗透，将会影响学生从感性认识到理性认识的飞跃，会妨碍学生有意识地去掌握和领会。因此，在反复渗透的过程中，教师在适当时机予以明确是必要的。也就是说，数学思想方法教学应以明确性原则为目标。4、参与性原则由于数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬、复制。数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，重在思辩操作，离开教学活动过程，数学思想方法也就无从谈起。所以我们的教学活动过程中，教师作为数学思想的传播者，应该认真组织好学生，让他们以一种积极的状态，主动的参与到数学教学过程中来，通