高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理首先我们来看看几大定理：1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(aξb).Ps:c是介于A、B之间的，结论中的ξ取开区间。介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=C。（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。此条推论运用较多）Ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。2、零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(aξb),使得f`(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(aξb),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、对任一x(axb),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(gfagbgafbfPs：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。6、积分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点],[ba使得)()()(abfdxxfbaPs：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满足的，下面我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点),(ba使得)()()(abfdxxfba证明：设xadxxfxF)()(，],[bax因为)(xf在闭区间上连续，则)(xF在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即为)(xf）。则对)(xF由拉格朗日中值定理有：),(ba使得abdxxfabaFbFFba)()()()`(而)()`(fF所以),(ba使得)()()(abfdxxfba。在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。千万不可直接运用，因为课本给的定理是闭区间。定理运用：1、设)(xf在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导函数，且20)3()2()()0(2ffdxxff.证明：(1))2,0(使)0()(ff(2))3,0(使0)``(f证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。具体证明方法在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合。（1）、令]2,0[),()(0xxFdttfx则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续，在xF内可导.则对)(xF由拉格朗日中值定理有：2)0()2()`()2,0(FFF使)2,0(),0(2)()(20fdttff(2)、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么问题就解决了。第一问中已经在(0,2)内找到一点，那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢，有了这样想法，就得往下寻找了，)3()2()0(2fff，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：]3,0[)(在xf上连续，则在]3,2[上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，分别设为M,m;则.)3(,)2(MfmMfm从而，Mffm2)3()2(，那么由介值定理就有：)0(2)3()2()(],3,2[fffcfc使]3,2[),2,0(),()()0(ccfff则有罗尔定理可知：0)`(),,0(11f，0)`(),,(22fc0)``(),3,0(),(21fPs：本题记得好像是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。2、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:1)()1,0()1(f使得、1)`()`(),1,0()2(ff使得、两个不同点、本题第一问较简单，用零点定理证明即可。（1）、首先构造函数：]1,0[,1)()(xxxfxF1)1()1(11)0()0(fFfF01)1()0(FF由零点定理知：1)(,0)()1,0(fF即使得(2)、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要注意，对于真题这么严谨的题目，他的设问是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。在想想高数定理中的就这么些定理，第一问用到的零点定理，从第二问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，证明此问题也只可能从三大中值定理出发，具体是哪个定理，得看自己的情况，做题有时候就是慢慢试，一种方法行不通，就换令一种方法，有想法才是最重要的，对于一道题，你没想法，便无从下手。另外在说一点，在历年证明题中，柯西中值定理考的最少。本题结论都涉及一阶倒数，乘积之后为常数，很可能是消去了变为1（你题目做多了，肯定就知道事实就是这样）.并且第一问中0与1之间夹了个，如果我们在0与，与1上对)(xf运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。写一些简单步骤，具体详细步骤就不多写了：将第一问中)(f代入即可。)1,(,11)()1()`(),0(,1)0()()`(ffffff)1,0()1,(),1,0(),0(,1)`()`(ffPs：本题是05年数一的一道真题，第一问是基本问题，送分的，第二问有一定区分度，对定理熟练的会容易想到拉格朗日定理，不熟练的可能难以想到方法。做任何题，最重要的不是你一下子就能把题目搞出来，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一步步的去做，如果行不通了，在改变思路，寻求新的解法，如果你没想法，你就根本无从下手。3、设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1/3.证明：22)`()`(),1,21(),21,0(ff使得：对于这道题的结论比较有意思，比较对称，另外一个就是结论的条件，为何要把、放在两个范围内，不像上一题中直接来个)1,0(、，这个分界点1/2的作用是干吗的。很可能也是把1/2当做某一个点就像上一题中的，是否要用到拉格朗日中值定理呢，这是我们的一个想法。那具体的函数如何来构造呢，这个得从结论出发，22)`()`(ff我们把等式变一下：0)`()`(22ff，2)`(f这个不就是331)(f关于的导数（而且题目中f(1)=1/3,貌似这样有点想法了），本题会不会也像上一题那样，运用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢，有了这些想法我们就要开始往下走了：先来构造一个函数：)21(2211)21()1()`()21(221)0()21()`(,0)1(,0)0(,31)()(3FFFFFFFFFFxxfxF0)`()`(FF刚好证明出来。Ps：本题是近几年数二的一道真题，只有一问，有比较大区分度的，得从条件结论互相出发，如何构造出函数是关键。做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了，如果只给)1,0(、，那就更难了得自己找这个点，既然题中给了这个点，并且把两个变量分开在两个区间内，我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。说明真题出的还是很有技巧的。一般设计难一点的中值定理证明，往往得用拉格朗日定理来证明，两个变量，都涉及到导数问题，这是因为拉格朗日中值定理条件要少些，只需连续，可导即可，不像罗尔定理得有式子相等才可进一步运用。4.设f(x)在区间[-a,a](a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0(1)、写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式(2)、证明在[-a,a]上至少存在一点使得aadxxffa)(3)``(3第一问课本上记住了写出来就行，考的很基础（1）、22!2)``()0`(!2)``(!1)0`()0()(xfxfxfxffxf(2)、第二问先将第一问的式子f(x)代入看看有什么结果出来aaaadxxfdxxf22)``()(，)``(f此处不能直接拿到积分号外面，因为他不是与x无关的数。做到这儿，我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求办法。题目中说道f(x)有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最小值，往往会接着和介值定理一起运用。所以有：因为f(x)有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为M,m则对于区间[-a,a]，222)``(,)``(MxxfmxMxfm3222332)``(32MadxxMdxxfdxxmmaaaaaaaMdxxfamaa)(33所以由介值定理有结论成立。Ps：本题是以前的一道真题，具体哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。题目中说的很明白的，有二阶连续导数，往往当题目中提及到什么连续啊，特别是对于导函数连续的，我们总得注意下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。5、设f(x)在],0[上连续，且0cos)(,0)(00xdxxfdxxf.证明：在),0(内至少存在两个不同点0)()(2121ff使得、本题看似很简洁，但做起来去不容易。结论是证明等式成立且为0，很容易让我们想到罗尔定理，我们如果能找到三个点处函数值相等，那么是不是就能有些思路了呢。令：],0[,)()(0xdttfxFx，0)()0(FF似乎只需在找出一点F(c)=0即可。，如果一切如我们所想，证明也就完成了。0)(sin)(cos)(coscos)(0000dxxFxxFxxxdFxdxxf0)(sin0dxxFx似乎已经找到这个点了。但是积分中值定理中，是取闭区间，如果要用的话得先构造函数用拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。构造函数],0[,)(sin)(0xdttFtxGx具体的证明步骤和上面涉及到的一样，自己去证。证完后就得到0)(,0)(sin,0)`(),,0(cFcFccGc所以即使得所以有：),0(