不定积分的第二类换元积分法

主要内容：第四章不定积分第二节不定积分的换元积分法1.第二类换元法基本定理.2.第二类换元法基本类型.一、第二类换元法基本定理定理2设xj(t)是单调的、可导的函数,并且j(t)0.又设f[j(t)]j(t)具有原函数F(t),则有换元公式其中tj-1(x)是xj(t)的反函数.这是因为,由复合函数和反函数求导法则,)()]([1)()]([)(})]([{1xftfdtdxttfdxdttFxF-jjjj.)()]([1)()]([)(})]([{1xftfdtdxttfdxdttFxF-jjjj.)()]([1)()]([)(})]([{1xftfdtdxttfdxdttFxF-jjjj.)()]([1)()]([)(})]([{1xftfdtdxttfdxdttFxF-jjjj.dtttfdxxf)()]([)(jj.)]([)(1CxFCtF-j一、第二类换元法基本类型（1）三角代换去根式（2）根式代换(去根式)（3）倒代换（1）三角代换去根式•去根式)0(22-axa作代换,sintax.cos22taxa-•去根式)0(22-aax作代换,sectax.tan22taax-•去根式)0(22axa作代换,tantax.sec22taxa),2,2(-t),2,2(-t)2,0(ttdtadxcostdtadx2sectdttadxtansecxysec例1求)0(d22-axxa解令taxsinttaxdcosd-2,2txxad22-ttadcos22-taa222sinttad22cos12Ctta)2sin21(22辅助三角形ttadcosaxaarcsin22Cttta)cossin(22Cxax-222回代例2求解)0(d122axax令taxtanttaxdsecd2xaxd122tasec1ttdsec1|tansec|lnCtt-2,2taCaxxln||ln122-Caxx||ln22ttadsec2回代ln1Caax22ax辅助三角形例4xxxd)1(13求令),0(6ttxttxd6d5xxxd)1(13ttttd)1(6235tttd1622-tttd111622-ttd11162Ctt-]arctan[6Cxx-]arctan[666解（2）根式代换(去根式)例5求解xexd11,1xet令,12-tex.d12d2tttx-xexd11ttd122-Ctt-11lnCxex--)11ln(2),1ln(2-txttttd1212-（2）根式代换(去根式)例6xxxd)2(17求令,1txttxd1d2-xxxd)2(17ttttd12127--tttd2176Ct-|21|ln1417Cxx-||ln21|2|ln1417-7721)21(d141tt可作倒代换.1tx一些情况下(如被积函数是分式,分母的方幂较高时),解(3)倒代换上页下页铃结束返回首页12课堂练习：(1).d1143xxx94d2xx(2)-22dxxxx（3）上页下页铃结束返回首页13（1）求解.d1143xxxxxxd1143令ttxd1d2-ttttd111243---tttd143-)d(114144tt-1Ct-4121.2124Cxx-,1tx上页下页铃结束返回首页1494d2xx223)2(dxx解Cxx942ln21294d2xx223)2()2(d21xx（2）求上页下页铃结束返回首页15--22)d1(xxxx解-22dxxxx-22dxxxx（3）求-22dxxx---222)d(221xxxx---2)1(1)1d(xxCxxx---)1arcsin(22课堂小结熟记第二换元积分法的几种基本类型，会用第二换元积分法去求一些不定积分,如果被积函数含有根式，考虑用第二换元积分法课后练习P1401(35)(37)--22)d1(xxxx解-22dxxxx-22dxxxx例9求-22dxxx---222)d(221xxxx---2)1(1)1d(xxCxxx---)1arcsin(22