微积分的发展a

微积分的发展摘要本文以对微积分的发展有突出贡献的一些中外数学家为切入点，依据他们的著作及简略的介绍了各级段微积分学的产生背景、发展过程以及其产生的重大历史意义。关键词：微积分；发展史；庄子；莱布尼茨；积分AbstractInthispaperhavemadeoutstandingcontributionstothedevelopmentofcalculus,someChinesemathematiciansasthebreakthroughpoint,onthebasisoftheirworks,andbrieflyintroducesthevariousperiodofcalculusinthebackground,developmentprocessanditsmajorhistoricalsignificance.Keywords:calculus;Thehistory;zhuangziLeibnitz.integral1国外微积分的发展从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产了公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到１９世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西。欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。2中国古代微积分的发展众所周知，在牛顿与莱布尼兹发明微积分前经历了十分艰难曲折的一个世纪的酝酿阶段。“作为产生微积分的必要条件中，有些是在我国早已有之，而为希腊式数学力所不及的。”2.1无限数概念的萌芽我国春秋战国时期，百家争鸣，学术繁荣。先秦时期的哲学家和科学家，从数和形的侧面来反映和刻画现实世界中的无限性。2.1.1对宇宙无限性的认识例如，《尸子》中对“宇宙”的阐述：“四方上下曰宇，往古来今曰宙。”说明“宇”是包括东西、南北、上下的三维空间；“宙”是包括过去、现在和将来的一维空间。宇宙是空间和时间的统一。又如，《墨经》也指出：“《经上》：宇，弥异所也。”、“《经说上》：宇、东、西、家、南、北。”、“《经上》：久（宙），弥异时也。”、“《经说上》：久，古、今、旦、莫（暮）。”、这里看出，墨翟与尸佼认为宇宙是无边无际，无始无终的，这样的理解已经包含着对时间与空间无限性的思想。另外，在《庄子·天下篇》中说：“南方无穷而有穷”。在《墨经》中也有，“《经说上》：久，有穷、无穷。”即作为宇宙空间的“南方”是无穷的，但由于人们受其所生活的有限的球形大地的限制，因而在人们活动范围内和视野里的“南方”却又是有穷的了。从古至今，从早到晚，对于每个具体过程而言，时间是有穷的但就其总和来说，时间又是无穷的了。作为整体的“无穷”，正是由作为部分的“有穷”所构成的。人们正是通过有穷来认识无穷的。此外，《墨经》对空间区域的有穷和无穷给出了明确的定义：“《经上》：穷，或（域）有前不容尺也。”“《经说上》：或不容尺，有穷。莫不容尺，无穷也。”即是说，若是用尺子来量某一空间，到了某一处“有前不容尺”，则该空间就是有穷的；否则，若不断量下去，总是“前容尺”，则该空间就是无穷的。再者，惠施在《庄子·天下篇》中说：“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一。”这里，“大一”即万物概莫能外的无穷空间：“小一”即无所包容的几何学中的点。不难看出，它们具有现代无穷大与无穷小思想的萌芽2.2中国古代微积分的发展南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。参考文献：【1】李文林·数学史概论北京：高等教育出版社【2】【英】斯科特·数学史桂林：广西师范大学出版社【3】【美】卡尔·B·波耶·微积分概念发展史上海：复旦大学出版社