84微积分入门

微积分入门一.微商（导数）1.用来分析变化的工具2.斜率=dy/dx3.极限：一个值无限接近另一个值的状态。表示：lim(x→0)f(x)=b4.正向接近（+∞）与负向接近（-∞）。当从两侧接近的结果不同时，不存在极限5.极限的模式：lim(x→a)f(x)不存在（如lim(x→a)1/x)lim(x→a)f(x)存在，但不是f(a)(如lim(x→1)（x^2-3*x+2)/(x-1))lim(x→a)f(x)存在，是f(a).6.求导公式：lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h二．导函数1对f(x)求导得到的导函数也是函数。f’(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h=lim(dx→0)dy/dx2.导数表示的两种方式:A.如上B.(莱布尼茨法）dy/dxdf(x)/dxF’’(x)=(d/dx)*(d/dx)*y3.求导基本公式：p=Cp’=0(p为常数）(px)’=p{f(x)+g(x)}’=f’(x)+g’(x)4.常用求导公式：（x^n)’=lim(h→0)((x+h)^n-x^n)/h=n*x^(n-1){f(x)*g(x)}’=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x)y=sinxy’=cosx;y=cosxy’=-sinx④y=e^xy’=e^x;y=Lnxy’=1/x⑤{f(x)/g(x)}’=(f‘(x)*g(x)-f(x）*g’(x))/g^2(x)5.y=f(x)的一阶微商f’(x)=dy/dx=lim(dx→0)(f(x+dx)-f(x))/dx二阶微商f’’(x)=df‘(x)/dxd^2*y/d*x^2n阶微商)(nf（x)=d)1(nf(x)/dx=d^n*y/d*x^nxv=dx/dt=x;xa=dxv/dt=v=d^2x/dt^2=x三．求导规则和公式1.函数y=1f(x)是y=f(x)的反函数，由x和y的互反关系，易得d1f(x)/dx=dy/df(y）=1/（df(y）/dy)=1/f‘(y)2.如果y=f(u),u=g(x），则复合函数y=f(g(x))的导数为dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=f‘(u)*g’(x)3.如果y与x的函数关系由参数方程y=y(t),x=x(t)给出，则有：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y/x4.对于两个函数u(x),v(x)的和与差的导数，则由d(u+&-v)=du+&-dv得的d[u(x)+&-v(x)]/dx=du(x)/d(x)+&-dv(x)/d(x)5.对于两个函数u(x),v(x)的积的导数，则由d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu得d[u(x)v(x)]/dx=u(x)dv(x)/dx+v(x)/dx=u(x)v‘(x)+v(x)u‘(x)四．导函数的基本性质1.[af(x)]‘=af‘(x)2.[f(x)+g(x)]’=f‘(x)+g’(x)1&2[af(x)+bg(x)]’=af‘(x)+bg‘(x)(a,b为常数）3.[f(x)*g(x)]‘=f‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)函数积求导的方法推导：[f(x)*g(x)]‘=f‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)推导：[f(x)*g(x)]‘=lim(h→0)[{f(x+h)g(x+h)}-{f(x)g(x)}]/h=lim(h→0)[{f(x+h)-f(x)}*g(x+h)+f(x)*{g(x+h)-g(x)}]/h=f‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)4.[(x+b)^n]’=n(x+b)^(n-1)5.[(ax+b)^n]’=an(ax+b)^(n-1)五.二项式定理（展开(x+h)^n)1.(x+h)^n=nx+nC11nxh+nC22nx2h+.......+nnCnh∆.nCk表示“从n个数中挑选k个数的组合数”（有几种组合方式）如nC1=n.2.(x+h)^1=x+h→11(x+h)^2=x^2+2xh+h^2→121(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3→1331(x+h)^4=x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4→14641（系数）杨辉三角3.)1(x=kxkxk))!(!/(!(1)1(x=1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+......2/1)1(x=x1=1+21x+2*1)12/1(2/1x^2+......系数kk...2*1)1)...(1(函数x的导数：.../...)(11xxxoxxox（最初比）令o=0,得最末比（流数）导数1x&反流数（1/+1）1x六．使用导数绘制图形例1：绘制y=2x^3+3x^2-12x+6的图像y’=6x^2+6x-12=0X1=-2→maxy=26x2=1→miny=-1x...-2...1...f’(x)+0-0+f(x)↑26↓-1↑要点：求导找到极值点求极值点间的增减趋势例1图例2：判断曲线凹凸的方法→求二次微分f’’(x)的正负下凸→切线斜率增大→f‘(x)为增函数→f‘’(x)0上凸→切线斜率减小→f‘(x)为减函数→f‘’(x)0凹凸性增减表（f(x)=x^3-3xf‘(x)=3x^2-3)x...-1...0...1...f’(x)+0---0+f‘’(x)---0+++f(x)↑2↓0↓-2↑增加上凸减小上凸减小下凸增加下凸例2图由上凸→下凸拐点坐标（0,0）拐点处切线:y=-3xf(x)=ax^3+bx^2+cx+df’(x)=3ax^2+2bx+c七．积分（面积）与导数（斜率）的关系1.积分是导数的逆向运算，即f(x)=(d/dx)xdttf0)((关于t求f(t)积分）导数(x^n)’=?积分（?)’=nx^(n-1)为积分符号（Summation合计)2.对f(x)求不定积分得到的函数为原函数，如dxx2=(1/3)x^3+C(C为积分常数）求导函数（导数算式）+初始条件（信息）基础函数（原函数）3.)()()()()()(xbGxaFdxxgbdxxfadxxbgxaf证明：设F’(x)=f(x),G’(x)=g(x)[aF(x)+bG(x)]’=aF’(x)+bG’(x)=af(x)+bg(x))()()()()()(xbGxaFdxxgbdxxfadxxbgxaf例：dxdcxbxax)(23=dxdxdxcdxxbdxxa23=(a/4)x^4+(b/3)x^3+(c/2)x^2+dx+K(K为积分常数）4.不定积分的原函数有无数个证明：F(x)和G(x)均为f(x)的不定积分F’(x)=f(x)g’(x)=f(x)(F(x)-G(x))’=F’(x)-G’(x)=0F(x)-G(x)=C八．1.定积分baaFbFabxFdxxf)()()()(（从a到b)∆..定积分的结果不是函数，而是常数∆x与dx的最大区别在于是否引入了极限的概念2.定积分的性质bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(aadxxf0)(baabxfdxxf)()(④abxFcFbFaFcFcbxFacxFdxxfdxxfdxxfbcbaca)()()()()()()()()()(⑤Cbaxnadxbaxnn1)))(1(/1()(3.常用初等函数积分公式)1()1/1(1nCxndxxnnCxxdxcossinCxxdxsincos④Cedxexx⑤CxInxdx)/(九．lim(n→0)长方形1+长方形2+...+长方形n=lim(n→0)宽*（长1+长2+...+长n）=lim(n→0)宽*长(n)=lim(n→0)((b-a)/n){f(x1)+f(x2)+...+f(xn)}1..S1S2S1=lim(n→0)((b-a)/n)10)(nkkxfS2=lim(n→0)((b-a)/n)nkkxf1)(如果长方形宽无限缩小，那么S1S2bakbfafafkf)(...)1()()(2.例：求函数f(x)=x^2在[0，1]之间，函数图象与x轴围成的图形面积S=lim(n→0)1-n0k21020)lim(n)3^/1()/1()/(knnnknk=lim(n→0)(1/n^3)((n-1)n(2n-1)/6)=lim(n→0)(1/6)(1-1/n)(2-1/n)=1/3公式：6)12()1(102nnnknkf(xk)=f(a+k(b-a)/n)=(k/n)^2十．定积分的推导xxfxSnkk10)()0lim(xxFxxFxxf)()()0lim()(S=lim(∆x→0)[(F(xn)-F(xn-1))+(F(xn-1)-F(xn-2))+...+(F(x1)-F(xo))]=F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)∆S=S(x+∆x)-S(x)&∆S=f(x)∆xS’(x)=f(x)对S(x),由S’(x)=f(x)得：S(x)=f(x)dx=F(x)+C当x=a时：S(a)=0S(a)=F(a)+C=0S(x)=F(x)-F(a)当x=b时:S=F(b)-F(a)面积函数：F(x)=xdttf0)(微积分的基本定理：f(x)=(d/dx)xdttf0)(证明：设f(x)和其产生面积S(x)dS(x)=f(x)dx)()()/(xfxSdxdxdttfxS0)()()()(0xfdttfdxdx十一．积分所求面积为负：f(x)值为负积分方向相反（abxF)(与baxF)(）例1：若f(x)=(x-1)(x+1),求函数y=f(x)与x轴围成的部分面积11)1)(1(dxxx（负）→11)(dxxf3411)31(11)(3xxxFS例2：求y=(x-1)(x-2)(x-3)和x轴围成的图形面积3221)3)(2)(1()3)(2)(1(dxxxxdxxxxS=1/4+1/4=1/2十二．1.二次函数图象与x轴所围面积公式（))((xxy)dxxxdxxfS)()(2=xxx2321)(31=2232)(61)(612.dxxgxfS)()(例：求f(x)=x^2,g(x)=-x^2+2x+4所围成的图形面积9))42((2122dxxxxS十三．1.换元积分若x=g(u),则dx=g‘(u)du,则duugugfdxxf)('))(()(2.分步积分由d(uv)=udv+vdu可得：vduuvudv十四.1.微商在函数逼近中的应用：泰勒级数和小量展开在x=xo附近可以把函数y=f(x)展开为泰勒级数...))((''!21))((')())((!1)(2)(0xoxxofxoxxofxofxoxxofnxfnnn2!2)1(1)1(xnnnxxn...(x1)...!3sin3xxx...!21cos2xx...!31tan3xxx...!2112xxex(x1)2.物理公式中的微积分F=ma→22dtxdmF(位移二次求导得a）22dtxdmmg(加速度）→(关于t求积分）dtdxm（速度）mgtCmgt→mx(位移）=(1/2)mgt^2+D设t=0时，x=0,则：mx=(1/2)mgt^2→x=(1/2)gt^2以初速度Vo将球斜向上抛出水平方向（