微积分练习册(上)

·1·答案仅供参考·微积分（上）练习册·[第一章]函数习题1-1函数1.填空题：（1）xy32loglog的定义域。（2）523arcsin3xxy的定义域。（3）xxy11的反函数。（4）已知31122xxxxf，则)(xf。2.设3x,03,sin)(xxx，求2,6，并作出函数x的图形。3.指出下列函数的复合过程。（1）xey1（2）xey3sin（3）12lnarcsinxy4.设xf为定义在（-L,L）内的奇函数，若xf在（0，L）内单调增加，证明：xf在（-L,0）内也单调增加。5.设0,10,xxxxf（1）求1xf（2）求1xfxf，（写出最终的结果）·2··微积分（上）练习册·[第二章]极限与连续习题2-1极限1.填空：Axflim0xx对任意给定的0总存在使得当时，总有AxfAxflim0xxAxflim0xxAxflimxAxflimxAxflimxAxnlimnAxn2.用极限的定义证明：02limnn·3·班级：姓名：学号：3.若aunnlim，证明：aunnlim，并举例说明反过来未必成立。4.求xxf在0x时的左右极限，并说明它在0x的极限是否存在。5.证明：若Aunnlim，且0A，则存在0N，当Nn时，恒有0nu.6.证明：Axfxx0lim的充要条件是Axfxfxxxx00limlim7.设xxxf2，回答下列问题：（1）函数xf在0x处的右，左极限是否存在？（2）函数xf在0x处是否有极限？为什么？·4·（3）函数xf在1x处是否有极限？为什么？习题2-2无穷小，无穷大，极限运算法则1.填空题：（1）若22lim222xxbaxxx，则a=，b=.（2）若2134lim2baxxxx，则a=，b=.（3）若21lim1xbaxx，则a=，b=.（4）5210100limxxx.2.根据定义证明：xxy21为当0x时的无穷大，问x应满足什么条件，能使410y？3.计算下列极限.（1）xxxarctanlim（2）nnnn1lim（3）12lim21xxx（4）hxhxh330lim·5·（5）Nnxxnx11lim21（6）231lim42xxxx（7）22333limxxxx（8）302010152312limxxxx（9）nn2141211lim（10）11321211limnnn（11）311311limxxx（12）112525limnnnnn习题2-3极限存在准则，两重要极限及无穷小比较1.计算下列极限（1）xxx5sin3sinlim（2）xxxxsin2cos1lim0·6·（3）nnxx2sin2lim（x为不等于0的常数）（4）xxxx21lim2.利用夹逼准则计算下列极限（1）nnnnn22212111lim（2）xxx1lim0，其中xy为取整函数（3）数列个根号nnxxxx222,,222,22,2321（1）证明：nnxlim存在.（2）求nnxlim4.当1x时，无穷小x1和下列无穷小是否同阶？是否等价？（1）21x（2）3131x5.已知当0x时，11312ax与xcos1是等价无穷小，求a.·7·6.已知2limxxcxx，求c.7.利用等价无穷小的性质，求下列极限.（1）xxx2sin3arctanlim0（2）30arctansintanlimxxxx（3）xxx1cos1lim2（4）xxx5sin21lnlim0习题2-4函数的连续性1.填空题（1）设xxxf1ln，若补充0f可使xf在0x处连续.（2）1x是23122xxxy的第类间断点，且为间断点.（3）函数0,tanxxxy是第类间断点，且为间断点.2,1kkx是第类间断点，且为间断点.2,12kkx是第类间断点，且为间断点.（4）ax是axaxy的第类间断点，且为间断点.（5）0x是xy1cos2的第类间断点，且为间断点.·8·2.指出函数121211xxy的间断点，并判定其类型.3.已知xxxynnn2211lim，（1）求函数xfy的表达式.（2）讨论xf的连续性，若有间断点，判别其类型.4.设00,0,2cosaxxxaaxxxxf，当a取何值时，xf在0x处连续.5.求下列函数的极限.（1）xxx1sinsinlim0（2）11lim31xxx（3）xxxxx22lim（4）axaxaxsinsinlim·9·（5）xex1lim（6）2121lncoslimxxx（7）xxx2cot201lim（8）1lnlim21xxx（9）0limaaxaxxx（10）14sinlim1xxx习题2-5闭区间上连续函数的性质1.试证下列方程在指定区间内至少有一实根.（1）0135xx，在区间（1，2）；（2）2xex，在区间（0，2）.2.设函数xf在区间[0，2a]上连续，且aff20证明：在[0，a]上至少存在一点，使aff.·10·3.证明方程23xx至少有一个小于1的正根.4.若xf在（a，b）上连续，nxxx,,21为（a，b）内的n个点，证明：在（a，b）内至少存在一点，使nxfxfxfnf2115.设xf在[a，b]上连续，且无零点，则xf在[a，b]上的值不变号.（提示：用反证法）6.若xf与xg都在[a，b]上连续，且bgbfagaf,，则至少存在一点bac,，使cgcf.7.若xf在（a，b）内连续，且xfxfbxaxlim,lim证明：xf在（a，b）内有最小值.·11··微积分（上）练习册·[第三章]导数、微分、边际与弹性习题3-1导数的概念1.填空题：（1）若Aff0,00，则xxfx0lim.（2）若0xf存在，则下列的A取何值.AAxxfxxfx,lim000.AAhhxfhxfh,lim000.（3）函数xfy在0xx处可导是xfy在0xx处连续的条件.（4）曲线xy1在21x处切线方程，法线方程.2.利用导数的定义求下列函数的导数.（1）xxf，求xf（2）21xxf在0xx处的导数0xf.3.设xgxxxf0，其中xg在0x处连续，求0xf.4.讨论函数0,00,1sin2xxxxy在0x处的连续性与可导性.·12·5.已知0,cos0,xxxbxaxf在0x处可导，求a，b.6.设0,0,23xxxxxf，求导函数xf.7.已知xf在1x处连续，且21lim1xxfx，求1f.8.若Axf0，求nxfnxfnn11lim00.习题3-2导数的四则运算1.求下列函数的导数（a、b、c为常数，x、t、μ为自变量）（1）xxy22（2）5sincos2xeyx（3）xxycossin（4）1,0aaxayax·13·（5）ttscos1sin1（6）uuy11112.求下列函数在给定点处的导数.（1）cos21siny，求4ddy（2）tttf11，求4f3.设0,10,00,tanxexxxxxfx，求xff,04.求曲线22xxy的切线方程，使此切线平行于直线03yx.·14·习题3-3复合函数的导数1.求下列函数的导数（1）432xy（2）xey2（3）xy3cos（4）22xay（5）xy1sinln（6）xy1arcsin（7）arccotyx（8）21arctan21xy（9）xxytansecln（10）xey1cos2.求下列函数的导数（1）nxxyncossin（2）22222ln22xayxaxxa·15·（3）22arcsinxy（4）lncosarctanxye（5）xey12sin（6）21arccostty3.设xgxf,可导，xgxfyxgxf2222,0，求dxdy.4.设xf可导，求函数xxfysin的导数dxdy.5.设0,00,1arctan2xxxxxf，试讨论xf在0x处的连续性.习题3-4高阶导数1.填空题（1）yxeyx,2.（2）yxxxy,423.·16·（3）yxxy,1ln2.（4）2222,dxydxfxfy（xf二阶可导）.（5）2,1088fxxf.（6）nxyey,21.2.验证函数xxeey2满足关系式yyy2.3.求下列函数的n阶导数（1）xy2sin（2）xxey（3）xy11（4）221xxy4.xxy2sin2，求50y.5.设uf二阶可导，求下列函数的二阶导数22dxyd.·17·（1）xfy1（2）xfyln（3）xfey6.已知xfxy12，且uf二阶导数存在，求22dxyd.习题3-5隐函数的导数由参数方程确定函数的导数1.填空题（1）yxexy，dxdy.（2）622yxyx，dxdy.（3）xyyxcossin，dxdy.（4）yxyx,11.（5）tayttaxcos1sin，dxdy.（6）ttytx111，22dxyd=.·18·2.求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数22dxyd（1）yxxln（2）yxey13.用对数求导法求下列函数的导数（1）xxxy2（2）32323321xxxy4.13tefytfx，其中xf可导，且00f，求0tdxdy5.设tftftytfx，其中tf存在且不为0，求22dxyd.6.设11xtyt，求证：yxdxdy‘7.已知xyxey1，求0xy及去0xy.·19·8.求曲线321tytx在2t处的切线方程.习题3-6函数的微分及应用1.选择题（1