微积分讲义3

微积分讲义基础内容：函数（3）11.三角函数角的概念1.①与（0°≤360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）:Zkk,360|;②终边在x轴上的角的集合:Zkk,180|;③终边在y轴上的角的集合：Zkk,90180|;④终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|.2.角度与弧度的互换关系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零,熟记特殊角的弧度制.3.弧度制下，扇形弧长公式12r，扇形面积公式211||22SRR，其中为弧所对圆心角的弧度数。例1.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为()()2A()sin2B2()sin1C()2sin1D例2.已知为第三象限角,则2所在的象限是()(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限1.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在终边上任取一点(,)Pxy（与原点不重合），记22||rOPxy，例3.已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值.三角函数的定义则sinyr，cosxr，tanyx，cotxy。注:⑴三角函数值只与角的终边的位置有关，由角的大小唯一确定,三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式:①诱导公式：即2k或902k之间函数值关系()kZ，其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；如sin(270)cos②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.⑶重视用定义解题.⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位圆;;MPOMAT正弦线:余弦线:正切线:2.各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦sinyrcosxrtanyx,cotxy(纵坐标y的符号)(横坐标x的符号)例4.若是第三象限角,且coscos22,则2是()()A第一象限角()B第二象限角()C第三象限角()D第四象限角例5.若cos0,sin20,且则角的终边所在象限是（）(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限三角函数公式三角函数的公式：（一）基本关系公式组二(kZ)sin(2)sin,cos(2)costan(2)tan,cot(2)cotkxxkxxkxxkxx公式组三sin()sintan()tancos()coscot()cotxxxxxxxx公式组四公式组五xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(公式组六sin()sintan()tancos()coscot()cotxxxxxxxx(二)两角和与差公式公式组一sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(公式组二:cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan2cos12sin2cos12cos,公式组三,,,,例6.化简：440sin12例7.已知tanα，tanβ是方程23340xx两根，且α，β)2,2(，则α+β等于()(A)32(B)32或3(C)3或32(D)3例8.15cot15tan的值是（）(A)2(B)2+(C)4(D)1cossin1costan21cos1cossin1cos()sin21cos()sin21sin()cos21sin()cos21tan()cot21tan()cot23334常用数据:30456090、、、的三角函数值62sin15cos754,42615cos75sin3275cot15tan,3215cot75tan三角函数公式注：1三角函数恒等变形的基本策略。①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。②项的分拆与角的配凑。如分拆项：222222sin2cos(sincos)cos1cosxxxxxx;配凑角(常用角变换):2()()、2()()、22、22、()等.③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=22basin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=ab确定。例9.设)2,0(,若,53sin则)4cos(2=（）(A)57(B)51(C)27(D)4三角函数公式例10.已知45cossin，求sincos的值.例11.已知锐角,满足cos=53,cos(+)=135,求cos.例12.已知2，0，tan=31，tan=71，求2+.三角函数三角函数的性质:sinyxcosyxxAysin（A、＞0）定义域RRR值域[1,1][1,1]AA,周期性222奇偶性奇函数偶函数当,0非奇非偶,当,0奇函数单调性[2,2]22kk上为增函数；3[2,2]22kk上为减函数.（Zk）[21,2]kk上为增函数;[2,21]kk上为减函数.（Zk）12222,kk上为增函数；32222,kk上为减函数（Zk）三角函数tanyxcotyx定义域1|,2xxRxkkZ且|,xxRxkkZ且值域RR周期性奇偶性奇函数奇函数单调性kk2,2上为增函数（Zk）1,kk上为减函数（Zk）注:⑴)sin(xy或cos()yx（0）的周期2T;⑵sin()yx的对称轴方程是2xk（Zk），对称中心(,0)k；cos()yx的对称轴方程是xk（Zk），对称中心1(,0)2k；)tan(xy的对称中心（0,2k）.三角函数例13.函数]),0[)(26sin(2xxy为增函数的区间是()(A)]3,0[(B)]127,12[(C)]65,3[(D)],65[例14．函数22cos()()363yxx≤≤的最小值是（）()2A()3B()1C()1D三角函数例15.若函数)sin()(xxf的图象（部分）如图所示，则和的取值是()(A)3,1(B)3,1(C)6,21(D)6,21例16.已知函数12()log(sincos)fxxx⑴求它的定义域和值域；⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性；⑷判断它的周期性.例17.已知f(x)=5sinxcosx-35cos2x+325（x∈R）⑴求f(x)的最小正周期；⑵求f(x)单调区间；⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。