常微分方程复习资料

复习课常微分方程Ordinarydifferentialequation第一章绪论第二章一阶微分方程的初等积分法第三章一阶微分方程的解的存在定理第四章高阶微分方程第五章线性微分方程组第六章定性理论初步第七章一阶线性偏微分方程第一章绪论微分方程概述/SketchofODE/基本概念/BasicConception/1.常微分方程和偏微分方程2.一阶与高阶微分方程3.线性和非线性微分方程4.解和隐式解5.通解和特解6.积分曲线和积分曲线族7.微分方程的几何解释-----方向场定义：一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数（或微商）的关系式，称之为微分方程。常微分方程/ODE/在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。偏微分方程/PDE/自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。微分方程的阶/Order/在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。当n=1时，称为一阶微分方程；当n1时，称为高阶微分方程。的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。如果方程0),,,,()(nyyyxF若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解。把方程解和隐式解统称为方程的解。常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解。常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解。初值条件/InitialValueConditions/对于n阶方程),,,,()1()(nnyyyxfy初值条件可表示为)1(00)1(000000)(,,)(,)(,)(nnyxyyxyyxyyxyn阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示)1(00)1(000000)1()()(,,)(,)(,)(),,,,(nnnnyxyyxyyxyyxyyyyxfy一阶和二阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示00)(),(yxyyxfy0000)(,)(),,(yxyyxyyyxfy积分曲线和积分曲线族/IntegralCurve(s)/),(yxfdxdy)(xy),(cxy一阶微分方程的解yx,平面的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，而微分方程的通解表示表示yx,平面的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族。练习题编号微分方程自变量未知函数常或偏阶数是否线性1234344ssdsd4否2)(1yyxyxy常常s1否2否常xxyy1是偏u2222yuxutu02cosxydxdyt练习题编号函数微分方程初始条件1234xtxdteey0)1(2212xyy1)0(y是实数）(xey30yy1)0(y1)0(y1)0(y例外1)cos(1txuxxttuuxxucos1),0((0,)sinuxxxysin0yy0)(y'()1y例外1§2.1变量分离方程与变量变换§2.2线性微分方程与常数变易法§2.3恰当微分方程与积分因子§2.4一阶隐式微分方程与参数表示第二章一阶微分方程的初等解法变量分离方程的求解dyf(x)(y)dx1、形式:2、求解方法：分离变量、两边积分、考虑特殊情况3、方程的解为：dyp(x)ydx.,)(为任常数cceydxxp可化为变量分离方程类型的求解dyyg()dxxI.齐次微分方程1、形式：2、求解方法：作变量代换化其为变量分离方程、方程求解、变量还原II.形如,222111cybxacybxadxdy.,,,,,222111为常数这里cbacba的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论.cc1210)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211为齐次方程,由I可化为变量分离方程.的情形aa.bb121220则方程可改写成设,2121kbbaa222111cybxacybxadxdy222122)(cybxacybxak)(22ybxafaa.,bb121230且C1、C2不同时为零的情形axbycaxbyc11122200,yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg,YuX再经变换将以上方程化为变量分离方程§2.2线性微分方程与常数变易法)1()()(xQyxPdxdy)2()(yxPdxdy(),pxdxyce则的解为令,)1()()(dxxpexcy~)()()(cdxexQxcdxxp)3())((~)()(cdxexQeydxxpdxxp方程伯努利二)(Bernoulli形如nyxQyxpdxdy)()(伯努利方程：。xxQxP的连续函数为这里)(),(解法:方程变为引入变量变换,110nyz)()1()()1(xQnzxPndxdz求以上线性方程的通解02变量还原03的方程，关于z,x的线性微分方程称微分方程)1(,0),(),(dyyxNdxyxM是恰当方程..),()1(cyxu的通解为此时1.定义恰当方程使得若有函数),,(yxudyyxNdxyxMyxdu),(),(),(2.(1)是恰当方程的充要条件).2(,),(),(xyxNyyxM3、恰当方程的求解1).不定积分法.,0),(),(10若是进入下一步是否为恰当方程判断dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu)(),(),(20求).(),(30yyxNyu求由（？）M(x,y)N(x,y)yx2.分组凑微法采用“分项组合”的方法,把微分方程中本身已构成全微分的项分出来,再把余项凑成全微分.---应熟记一些简单二元函数的全微分.如xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd)('未能解出或相当复杂y一阶隐式方程)1(,0),,('yyxF求解—采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型.主要研究以下四种类型),,()1('yxfy),,()2('yyfx,0),()3('yxF,0),()4('yyF第三章一阶微分方程的解的存在定理利普希茨（Lipschitz）条件皮卡逐步逼近函数序列第四章高阶微分方程一、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法)(dd22xfxy逐次积分求解)dd,(dd22xyxfxyxyxpdd)(),(ddpxfxp2.二阶线性微分方程的解法•常系数情形齐次非齐次代数法•欧拉方程yx2yxpyq)(xftDextdd,令qpDDD)1(y)(tef机动目录上页下页返回结束