常微分方程考研讲义第五章--线性微分方程组

第五章线性微分方程组[教学目标]1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法]讲授，实践。[教学时间]16学时[教学内容]n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。2.能够求解常系数线性微分方程组。§5.1存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnnnnxatxatxatxftxatxatxatxftxatxatxatxft（5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ijatijn和()(1,2,,)iftin在区间atb上上是连续的。方程组（5.1）关于12,,,nxxx及12,,,nxxx是线性的.引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()nnnnnnatatatatatatAtatatat（5.2）这里()At是nn矩阵，它的元素是2n个函数()(,1,2,,)ijatijn.12()()()()nftftftft12nxxxx12nxxxx（5.3）这里()ft，x，x是1n矩阵或n维列向量。注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式()()xAtxft（5.4）引进下面的概念。一个矩阵或者一个向量在区间atb上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间atb上的连续函数。一个nn矩阵()Bt或者一个n维列向量()ut：111212122212()()()()()()()()()()nnnnnnbtbtbtbtbtbtBtbtbtbt12()()()()nutututut在区间atb上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间atb上可微。它们的导数分别由下式给出：111212122212()()()()()()()()()()nnnnnnbtbtbtbtbtbtBtbtbtbt12()()()()nutututut不难证明，如果nn矩阵()At，()Bt及n维向量()ut，()vt是可微的，那么下列等式成立：（Ⅰ）()()()()AtBtAtBt()()()()utvtutvt（Ⅱ）()()()()()()AtBtAtBtAtBt（Ⅲ）()()()()()()AtutAtutAtut类似地，矩阵()Bt或者向量()ut在区间atb上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间atb上可积。它们的积分分别由下式给出：1112111222112()()()()()()()()()()bbbnaaabbbbnaaaabbbnnnaaabtdtbtdtbtdtbtdtbtdtbtdtBtdtbtdtbtdtbtdt12()()()()babbaabnautdtutdtutdtutdt现在我们给出（5.4）的解的定义：定义１设()At是区间atb上的连续nn矩阵，()ft是同一区间atb上的连续n维向量。方程组()()xAtxft（5.4）在某区间t（这里,,ab）的解就是向量()ut，它的导数()ut在区间t上连续且满足()()()()utAtutft，t现在考虑带有初始条件0()xt的方程组（５.４），这里0t是区间atb上的已知数，是n维欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。定义2初值问题()()xAtxft,0()xt（5.5）的解就是方程组（5.4）在包含0t的区间t上的解()ut，使得0()ut。例2验证向量()tteute是初值问题0110xx,1(0)1x在区间t上的解。解显然001(0)1eue因为te和te处处有连续导数，我们得到0101()()1010tttteeututee因此()ut是给定初值问题的解。正如在第而章所看到的，当1n时，我们可以得到初值问题（5.5）的解的明显表达式，当2n时，情况就复杂多了。在第四章中，我们讨论了带有初始条件的n阶线性微分方程的初值问题。现在进一步指出，可以通过下面的方法，将n阶线性微分方程的初值问题化为形如（5.5）的线性微分方程组的初值问题。考虑n阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()()()()(),(),,()nnnnnnxatxatxatxftxtxtxt（5.6）其中12(),(),,()natatat，()ft是区间atb上的已知连续函数，0,tab，12,,,n是已知常数。我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题121120010000010000001()()()()()()nnnnxxatatatatftxt(5.7)其中12nxxxx12nxxxx事实上，令(1)123,,,,nnxxxxxxxx这时12xxx23xxx(1)1nnnxxx()1121()()()()nnnnnxxatxatxatxft而且(1)0101020200()(),()(),,()()nnnxtxtxtxtxtxt现在假设()t是在包含0t的区间atb上（5.6）的任一解。由此，得知()(),(),,()nttt在atb上存在、连续、满足方程（5.6）且(1)01020(),(),,()nnttt。令12()()()()ntttt其中1()()tt,2()()tt,,(1)()()nntt(atb)，那么，显然有0()t。此外，1223(1)1(1)()12311()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnnntttttttttttattattftttttattattf1211210100()00010()00001()0()()()()()()()nnnnttttatatatattft这就表示这个特定的向量()t是（5.7）的解。反之，假设向量()ut是在包含0t的区间atb上（5.7）的解。令12()()()()nutututut并定义函数1()()wtut，由（5.7）的第一个方程，我们得到12()()()wtutut，由第二个方程得到23()()()wtutut,，由第1n个方程得到(1)1()()()nnnwtutut，由第n个方程得到()1111(1)(2)12()()()()()2()2()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnnwtutatutatutatutatutftatwtatwtatwtft由此即得()(1)(2)12()()()()()()()()nnnnwtatwtatwtatwtft同时，我们也得到(1)010100()(),,()()nnnwtutwtut这就是说，()wt是（5.6）的一个解。总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义下是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。值得指出的是：每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。例如方程组0110xx，12xxx不能化为一个二阶微分方程。5.1.2存在唯一性定理本节我们研究初值问题()()xAtxft，0()xt（5.5）的解的存在唯一性定理。类似与第三章，我们通过五个小命题，采用逐步逼近法来证明定理。因为现在讨论的是方程组（写成向量的形式），所以有些地方稍微复杂些，而且要引进向量、矩阵的“范数”及向量函数序列的收敛性等概念；然而由于方程是线性的，所以有些地方又显得简单些，而且结论也加强了。总之，我们要比较第三章中的证明和现在的证明的异同，从对比中加深对问题的理解。对于nn矩阵ijnnAa和n维向量12nxxxx，我们定义它的范数为,1nijijAa1niixx设,AB是nn矩阵，x，y是n维向量，这时容易验证下面两个性质：１）ABABAxAx２）ABABxyxy向量序列kx，12kkknkxxxx，称为收敛的，如果对每一个(1,2,,)iin数列ikx都是收敛的。向量函数序列()kxt，12()()()()kkknkxtxtxtxt称为在区间atb上收敛的（一致收敛的），如果对于每一个(1,2,,)iin函数序列()ikxt在区间atb上是收敛的（一致收敛的），易知，区间atb上的连续向量函数序列()kxt的一致收敛极限向量函数仍是连续的。向量函数级数1()kkxt称为在区间atb上是收敛的（一致收敛的），如果其部分和作成的向量函数序列在区间atb上是收敛的（一致收敛的）。判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量函数级数也是成立的，这就是说，如果()kkxtM，atb而级数1kkM是收敛的，则1()kkxt在区间atb上是一致收敛的。积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列()kxt在区间atb上是一致收敛的，则lim()lim()bbkkaakkxtdtxtdt注意，以上谈到的是向量序列的有关定义和结果，对于一般矩阵序列，可以得到类似的定义和结果。例如，nn矩阵序列kA，