2018考研数学(一)真题

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）下列函数中在0x处不可导的是【】(A)sin.yxx(B)sin.yxx(C)cos.yx(D)cos.yx（2）过点1,0,0和0,1,0且与曲面22zxy相切的平面方程为【】(A)0z与1xyz.(B)0z与222xyz.(C)yx与1xyz.(D)yx与222xyz.（3）023121!nnnn【】(A)sin1cos1.(B)2sin1cos1.(C)sin12cos1.(D)3sin12cos1.（4）设2πππ222πππ222211d,d,1cosd1exxxMxNxKxxx，则,,MNK的大小关系为【】(A)MNK.(B)MKN.(C)KMN.(D)NMK.（5）下列矩阵中，与矩阵110011001相似的为【】(A)111011001.(B)101011001.(C)111010001.(D)101010001.（6）设,AB为n阶矩阵，记rX为矩阵X的秩，XY为分块矩阵，则【】(A)rrAABA.(B)rrABAA.(C)rmaxr,rABAB.(D)TTrrABAB.（7）设fx为某分布的概率密度函数，11fxfx，200.6fx，则0PX【】(A)0.2.(B)0.3.(C)0.4.(D)0.6.（8）给定总体2,XN，2已知，给定样本12,,,nXXX，对总体均值进行检验，令0010:,:,HH则【】(A)在显著性水平0.05时拒绝0H，则0.01时也拒绝0H.(B)在显著性水平0.05时接受0H，则0.01时拒绝0H.(C)在显著性水平0.05时拒绝0H，则0.01接受0H.(D)在显著性水平0.05接受0H，则0.01时也接受0H.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）1sin01tanlime,1tankxxxx则k.（10）函数fx的图像过0,0点，且与2xy相切于1,2，则10dxfxx.(11),,,xyzxyyzzxFijk则1,1,0rotF.(12)曲线L由2221xyz与0xyz相交而成，则dLxys.（13）设二阶矩阵A有两个不同的特征值，12,αα是A的线性无关的特征向量，且满足21212,Aαααα则A.（14）设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，,BC若1,2PAPB14PACABC，则PC.三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求不定积分2earctane1d.xxx（16）（本题满分10分）一根绳长2m，截成三段，分别折成圆，三角形，正方形，这三段分别为多长时，所得的面积总和最小，并求出此面积.（17）（本题满分10分）曲面22:133xyz，取前侧，求曲面积分33dd2dddd.xyzyzxzxy（18）（本题满分10分）已知微分方程yyfx，其中fx是R上的连续函数.（Ι）当fxx时，求微分方程的通解；（Ⅱ）若fx是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解.（19）（本题满分10分）数列11,0,ee1.nnxxnnxxx证明：nx收敛，并求limnxx.（20）（本题满分11分）设实二次型2221231232313(,,)fxxxxxxxxxax，其中a是参数.（Ι）求123(,,)0fxxx的解；（Ⅱ）求123(,,)fxxx的规范形.（21）（本题满分11分）已知a是常数，且矩阵1213027aaA可经初等列变换化为矩阵12011111aB=.（Ι）求a的值；（Ⅱ）求满足AP=B的可逆矩阵P.（22）（本题满分11分）设随机变量,XY相互独立，且X的概率分布为1(1)(1)2PXPX，Y服从参数为的泊松分布，令.ZXY（Ι）求cov,XZ；（Ⅱ）求Z的概率分布.（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为1;e,2xfx其中0,为未知参数，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，记的最大似然估计量为.（Ι）求；（Ⅱ）求E和D.2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题详解（1）【答案】D【考点】函数在一点处的导数.【解析】本题求函数在0x处的导数，下面我们先写出在0x处的导数的定义式0000limlim,0xxfxffxfxx为什么在0x处导数为常考内容？因为在0x处，上式右端的分母为x，最易简化计算.观察选项，可将选项分为两类：选项（A）、（B）为特殊的一类，可以统一表示为0fxxgxxgx，其中gx在0x处连续，易知00f，代入定义得0000limlimlim,xxxxfxffxgxxxx则0000limlim0,limlim0,xxxxxxgxgxggxgxgxx要使导数存在，只需00g，由此可知选项（A）、（B）在0x处可导.总结上面过程，得结论如下：0fxxxgx（其中gx在0xx处连续）在0xx处可导00.gx选项（C）、（D）为一般函数，直接代入定义式计算如下：对选项（C）：220000cos1cos1220limlim0,0limlim0,xxxxxxxxffxxxx故00f.至此已可直接判定答案为（D）.对选项（D）：200cos1120limlim,2xxxxfxx2000cos11220limlimlim,2xxxxxxfxxx（注意2xx）故选项（D）为正确答案.（2）【答案】B【考点】多元微分学的几何应用.【解析】【思路一】本题易用排除法首先，点1,0,0显然不在平面yx上，故排除（C）、（D）.观察选项（A）、（B），只需验证切平面1xyz和222xyz的正确性，这里我们验证平面1xyz是否为曲面22zxy的切平面：设切点为000,,xyz，则切平面法线向量为00,,12,2,1xyzzxy，由平面1xyz知，切平面法线向量为1,1,1，则002211,111xy得切点为111,,.222验证该切点是否在切平面1xyz上，显然切点不再切平面上，排除1xyz，即排除选项（A）.故选项（B）为正确答案.【思路二】直接求解记切平面上两点为1,0,0,0,1,0AB，设切点为000,,Cxyz，则22000zxy，（1）切平面法线向量为00,,12,2,1xyzzxyn，则,ABACnn，得000,xy（2）2200000000021202220,xxyyzxyxz（3）联立方程（1），（2），（3），解得000,,0,0,0xyz或1,1,2，则切平面法线向量为0,0,1或2,2,1，取切平面一点1,0,0A，则切平面方程为000zz或2120222.xyzxyz（3）【答案】B【考点】数项级数求和.【解析】求解本题需要熟记常用函数的麦克劳林级数展开式0000232121111121cos12sin1,21!21!2!21!nnnnnnnnnnnnnn故选项（B）为正确答案.（4）【答案】C【考点】定积分的性质.【解析】定积分的比较大小问题往往归结为被积函数的大小问题.先对M进行化简2πππππ222222πππππ222222221122dd1ddd,111xxxxMxxxxxxxx则,,MNK的大小问题化为被积函数1，1exx，1cosx在区间ππ,22上的大小比较.显然1cos1x，下面求函数11eexxxfxx在区间ππ,22上大小，e,xfxx令0fx得驻点0x，01f.又当0x时，0fx；当0x时，0fx，则01,fxf综上，11cos1exxx，则KMN.故选项（C）为正确答案.（5）【答案】A【考点】矩阵相似的判定.【解析】记0110011001A，记各选项矩阵分别为1234,,,AAAA.【思路一】利用矩阵相似的必要条件，用排除法求解.若AB，则存在可逆矩阵P，使得1PAPB，则1,EB=PEAP由于初等变换不改变矩阵的秩，故有rr.EB=EA下面分别验证四个选项，易知矩阵1234,,,AAAA均有三重特征根1，又01234r12;r12,r11,r11,r11,EAEAEAEAEA由上面的必要条件可直接排除选项（B）、（C）、（D）.这里要注意的是，矩阵01234,,,A,AAAA都是不可相似对角化的，因此无法利用化为同一相似对角阵求解.故选项（A）为正确答案.【思路二】依据矩阵相似的定义，即找到可逆矩阵P，使得1PAPB.当然，此种做法带有很强的试探性和对矩阵初等变换的把握.观察选项，相同的是元素131a，不妨认为是对0A做了倍加变换，即2101EA，为了凑成1PAP的形式，需要右乘1211E，即变为1210212102111111111011,001EAEEAEA由此可知，0A与1A相似.（6）【答案】A【考点】向量组的等价问题与矩阵的秩.【解析】因为分块矩阵的形式是按列分块的，因此在以向量形式记录内部矩阵的时候应使用列向量，若以行向量记录，则在矩阵的整体讨论时，会出现延伸组的情况，不利于分析.记12,,,,nAααα1112121222121212,,,,,,,nnnnnnnnbbbbbbbbbABβββααα显然12,,,nβββ能由12,,,nααα线性表出，则向量组12,,,nααα与1212,,,,,,,nnαααβββ是等价向量组，故rrAABA.故选项（A）为正确答案.不少同学可能因为TrrAA的原因选了（D），但要注意的是TTTTTAABABB，因此TTTTrrr.AABABB（7）【答案】A【考点】一维连续型随机变量概率的计算.【解析】由于fx图像关于1x对称，如右图所示.由200.6fx知，图中阴影部分面积为0.6，则由对称性知，00d0.2.PXfxx故选项（A）为正确答案.（8）【