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02张量概念哈工大土木工程学院1/48土木工程学院工程力学学科组HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY弹塑性力学02张量概念哈工大土木工程学院2/48◆张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的重要数学工具。◆张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。◆任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的,它们是不以人们的意志为转移的。◆分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客观事物的认识水平有关,会影响问题的求解与表述。1.1张量概念◆所有与坐标系选取无关的量,统称为物理恒量。第1节张量概念及其基本运算02张量概念哈工大土木工程学院3/48◆在一定单位制下,只需指明其大小即足以被说明的物理量,统称为标量(Scalar)。例如温度、质量、功等,在坐标变换时其值保持不变的量,即满足123123(,,)(,,)xxxxxx◆在一定单位制下,除指明其大小还应指出其方向的物理量,称为矢量(Vector)。例如速度、加速度等。◆标量只需一个量就可确定,而矢量则需三个分量来确定。02张量概念哈工大土木工程学院4/48◆若我们以r表示维度(如三维空间),以n表示阶数,则描述一切物理恒量的分量数目M可统一地表示成:nrM统一称这些物理量为张量(Tensor)。◆二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义,但它做为物理恒量,其分量间可由坐标变换关系式来解释、定义。当n=0时,零阶张量,M=1,标量;当n=1时,一阶张量,M=31,矢量;当n=2时,二阶张量,M=32,矩阵;当取n时,n阶张量,M=3n。02张量概念哈工大土木工程学院5/48张量定义设(a1,a2,a3)、(b1,b2,b3)、……、(s1,s2,s3)是矢量,Ti1i2…in是与坐标选择有关的3n个独立变量,若当坐标变换时,n一次式121212333111nnnii...iiiiiiiF...Tab......s由一组坐标系变换到另一组坐标系时,研究对象的分量若能按照一定规律变化,则称这些分量的集合为张量。保持不变,则取决于脚标的3n个量Ti1i2…in的集合称为n阶张量,其中每个元素称为此张量的分量。02张量概念哈工大土木工程学院6/48◆在张量的讨论中,都采用下标字母符号,来表示和区别该张量的所有分量。◆不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的阶次。◆重复出现,且只能重复出现一次的下标符号称为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列,再求和。◆如不特意说明,今后张量下标符号的变程,仅限于三维空间,即变程为3。1.2指标记法02张量概念哈工大土木工程学院7/48矢量V的方式表示:vi代表矢量V的所有分量,即当V写作vi时,指标的值从1到3变化。123(,,)Vvvv31122321iiiveveveveiv123()()=()=(,,)ijfXfxfxfxxx1e2e3e1x2x3xo123,,PvvvV1V2V3V02张量概念哈工大土木工程学院8/48关于哑标号应理解为取其变程N内所有数值,然后再求和,这就叫做求和约定。31122331iiiiiababababab31122331ijjijjiiijababababab3311ijijijijijabcabc111112121313abcabcabc212122223323abcabcabc313132323333abcabcabc展开式(3项)展开式(9项)333111ijkijkijkijkijkaxxxaxxx展开式(27项)1.3求和约定02张量概念哈工大土木工程学院9/483222221122331iiiijaaaaa23221122331iiiiiaaaaa()3311ijijijijij11111212131321212222232331313232333302张量概念哈工大土木工程学院10/48关于下标的约定可以总结为以下三条规则:1.如果在一个方程或表达式的一项中,一种下标只出现一次,则称之为自由指标,这种自由指标在表达式或方程的每一项中必须只出现一次。2.如果在一个表达式或方程的一项中,一种指标正好出现两次,则称之为哑标,它表示从1到3求和。哑标在其他任何项中可以刚好出现两次,也可以不出现。3.如果在一个表达式或方程的一项中,一种指标出现的次数多于两次,则是错误的。iiixban1iiiixba是违约的,求和时要保留求和号02张量概念哈工大土木工程学院11/48例题:利用求和约定缩写下面线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa解:作为第一步缩写,可以写成:11jjaxb最后可以缩写为:ijijbxa其中i称为自由标,j称为哑标。22jjaxb33jjaxb02张量概念哈工大土木工程学院12/481111111112121313kkCABABABABCij=AikBjk,则表明i,j为自由指标,k为哑标表示9个方程:1212112112221323kkCABABABAB1313113112321333kkCABABABAB2121211122122313kkCABABABAB3333313132323333kkCABABABAB……例题:描述Cij=AikBjk的意义。解:02张量概念哈工大土木工程学院13/48关于求和标号(哑标)说明:◆由于哑指标在求和之后就不再出现,所以哑指标字母可以任意改变。◆求和约定只适用于字母标号,不适用于数字标号。◆在运算中,括号内的求和标号应在进行其它运算前就先求和。2222112233iiaaaa22112233()()iiaaaaororiijjkkSaxaxax02张量概念哈工大土木工程学院14/48111ECR222ECR333ECRiiiiiRCECE出现双重指标但不求和时,在指标下方加划线以示区别,或用文字说明(如i不求和)。规定:这里i相当于一个自由指标,而i只是在数值上等于i,并不与i求和。例外情况02张量概念哈工大土木工程学院15/48又如,方程333222111232221用指标法表示,可写成iiiiii不参与求和,只在数值上等于iiiiiii02张量概念哈工大土木工程学院16/48关于自由标号:◆在同一方程式中,各张量的自由标号相同,即同阶且标号字母相同。◆自由标号的数量确定了张量的阶次。ijijbxa02张量概念哈工大土木工程学院17/48ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号,亦称单位张量,也叫置换算子.其定义为:10010100001,,ijijijij当时;或:当时;ijvj=vi即在将ij应用于vj只是将vj中的j用i置换;对于单位矢量,点积ei·ej=ij;其他关于Kronecker符号的描述可以参考孙炳楠的《工程弹塑性力学》及相关张量的其他文献。1.4Kroneckerdelta(ij)符号02张量概念哈工大土木工程学院18/48ij的作用与计算示例:11223313()ii6()()ijjiijjijjijijjlllll22211223323()()()()ijij1122333()ijjkikikikik1111222233334()ijijiiaaaaa1122331235()(,,)即或或iijjjjjaaaaaaaa02张量概念哈工大土木工程学院19/48ijijee=若e1,e2,e3是相互垂直的单位矢量,则112233iiee=ee+ee+eeiiiiee=注意:ii是一个数值(3)ij的作用:1)换指标;2)选择求和。1122333=02张量概念哈工大土木工程学院20/48例1:完成脚标变换Ai→AkkiikkkkAAA思路:把要被替换的指标i变成哑标,哑标能用任意字母,因此可用变换后的字母k表示。例2:完成变换Tkj→Tij例3:代表34=81个数,求m=n时各项的和。特别地ikkjiiijijTTTikkjijikkjjmimminjABmnminjninjmimjABABAB02张量概念哈工大土木工程学院21/48张量的运算法则与矢量相类似。如:张量相等即对应分量相等;张量相加即对应分量相加;张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和的新张量;n阶张量缩并后变为n-2阶张量等等。1.5张量的基本运算02张量概念哈工大土木工程学院22/48A、张量的加减:凡是同阶的张量可以相加(减),并得到同阶的张量,它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。ijijijabc()TSa=TaSa其分量为:()()ijijTS=eTSe其矩阵形式为:TSTS若a为一矢量,则ijij=TSijij=eTeeSe02张量概念哈工大土木工程学院23/48◆一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0,则在所有坐标系中的所有分量都为0。这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助,如:要考虑Fi导致的应力ij,以后将证明,为满足平衡ij,j=Fi,现将它重写为Di=ij,j-Fi=0因为Di是零矢量,因此只需在一个坐标系中证明即可。02张量概念哈工大土木工程学院24/48B、张量的乘积张量A的每一个分量乘以张量B中的每一个分量所组成的集合仍然是一个张量,称为积张量。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。ijkijkabc◆对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。◆张量乘法不服从交换律,但张量乘法服从分配律和结合律。例如:()ijijkijkijkabcacbc()()或ijkmijkmabcabc02张量概念哈工大土木工程学院25/48C、张量函数的求导:◆一个张量是坐标函数,则该张量的每个分量都是坐标参数xi的函数。◆张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。◆对张量的坐标参数求导数时,采用在张量下标符号前方加“,”的方式来表示。例如Ai,j,就表示对一阶张量Ai的每一个分量对坐标参数xj求导。◆对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。02张量概念哈工大土木工程学院26/48◆如果在微商中下标符号i是一个自由下标,则算子i()作用的结果,将产生一个新的升高一阶的张量;123,(,,)iixxxx312123,iiiiuuuuuxxxx◆如果在微商中下标符号i是哑标号,则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。02张量概念哈工大土木工程学院27/48iimmiimma=Ubb=Vc1代入设(1)(2)把(2)代入(1)iimmb=Vcmmnnb=Vciimmnna=UVc3个方程,右边为9项之和指标记法的运算02张量概念哈工大土木工程学院28/48mmmmp=Uaq=Vb2乘积设则mmnnpq=UaVb不符合求和约定mmmmpqUaVb02张量概念哈工大土木工程学院29/480ijjiTn-ln=3因式分解考虑第一步用in表示jniijjn=nij,有换指标的作用所以0ijjijjTn-ln即0ijijjT-ln()02张量概念哈工大土木工程学院30/482ijkkijijT=E+E使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各向同性材料应力应变关系。iikkiiiikki
本文标题:02_张量概念
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