第4节 解析函数零点孤立性及唯一性定理

DepartmentofMathematics第四节、解析函数零点的孤立性及唯一性定理一解析函数的零点的孤立性1定义4.7(),().fzDaafz设函数在解析区域内一点的值为零则称为解析函数的零点2()fzTaylor的系数的情形(),fzzazaRzaTaylor若在解析则在内可展成的级数212()()()...()nnfzazaazaaza(),0,()0().nnnafafzzaR(1)对一切即;则在内恒等于零(2),0,,0,mnmanma存在正整数而时即'(1)()()()()0,()0mmfafafafa而()afzm此时称为的阶零点.1,().mafz特别时为的单零点()()...()mnmnfzazaaza即3定理4.17()fzam不恒为零的解析函数以为阶零点的充要条件是:()()()(4.14)mfzzaz(),()0.zazaRa其中在点的邻域内解析且证明:“必要性”由假设,()(1)1()()()()()!(1)!mmmmfafafzzazamm()mza()(1)()()[()]!(1)!mmfafazamm只要令()(1)()()()()!(1)!mmfafazzamm则()()()mfzzaz“充分性”(),zazaR由于在点的邻域内解析故由Taylor定理'2()()()()()()2!azaazaza从而()()()mfzzaz'2()()[()()()()]2!mazaaazaza'1()()()()mmazaaza()0,a由于()afzm故为的阶零点.(),()0.zaa这里,显然在点的某邻域内解析且例122()sin(cos1)0.fzzzz考察函数在的性质解()0,(0)0;fzzf在解析且()fz由于6102()3!5!zzz48()2!4!zz6z()z()z其中48(1)3!5!zz41()2!4!zz在平面解析,1(0)0,2且()fz故0为的6阶零点.6()zz48(1)3!5!zz41()2!4!z例2()sin1.fzz求的所有零点,并指出它们的阶解(),fzz在平面解析()sin10,fzzarcsin1z1Lnii故2,(0,1,),2zkk(),fz就是的全部零点由得'(2)2fk因为cos(2)02k''(2)2fksin(2)102k2,(0,1,)().2zkkfz所以为的二阶零点1(ln2)2iikii注:一个实函数的零点不一定是孤立的.如21sin0(),00xxfxxx10,0,,0.xxxn在可微且以为零点此外也是它的零点并以为聚点但在复变函数中,我们有4定理4.18(),,,()().zaRfzaafza如在内的解析函数不恒为零为其零点则必有的一个邻域使得在其中无异于的零点不恒为零的解析函数零点必孤立证明:()afzm设为的阶零点则()()()mfzzaz(),()0,zzaRa其中在内解析且().za从而在点连续(),zarRz于是存在邻域使在其中恒不为零().fza故在其中无异于的零点5推论4.19(1)():;fzKzaR设函数在邻域内解析(2)(){}();nnKfzzzaa在内有的一列零点收敛于().fzK则在内必恒为零证明:()fza由于在点连续,()0,nfz且,n让趋于无穷取极限()0.fa即得.a故是一个非孤立的零点().fzK由定理4.18必在内恒为零注2():,.fzKzaR应在内解析否则结论可能不成立如().fzK但在内不恒为零().fzK在内不解析1()sin:11111,nfzKzRzzn在内有无穷多个零点二解析函数的唯一性1定理4.2012(1)()();fzfzD设函数和在区域内解析12(2){}();()();nnDaDzzafzfz内有一个收敛于的点列在其上和等值12().fzfD则和(z)在内恒等证明:12()()(),fzfzfz令,Da若恰为以为心的圆或平面(),fzD由假设在内解析{};nDza且在圆内有一列零点收敛于由推论4.19,()0.Dfz在内考虑一般情形:,bD对,Dab用一条含于的折线L连接及dim(,),dLD记,Rd取正数:L在上取一串点01,,,;naaaab,R使相邻两点的距离小于01,,,,nRaaa以为半径分别以为心作圆01,,,;nKKK:,(1,2,,);iiKzaRin.D则这些圆含于内0K先考虑,由推论4.19知0()0,;fzzK1K再考虑,01()0,KKfz因在内101;aKK由推论4.19有1()0,;fzzK这样连续下去,可依次证明在01,,,nKKK内()0,fz,nbK而()0;fb故()0,.fzzD从而2推论4.2112()()DfzfzDD设在区域内解析的函数及在内的某一子区域(或一小段弧)上相等,则它们必在内恒等.例3()()fzzD设(1)函数及g在区域内解析;()()0;Dfzgz(2)在内()0()0.Dfzgz试证:在内或证明:00,()0,zDfz若使0(),fzz由于在连续,KD0故z的邻域()0,Kfz使在内()()0,,fzgzzKD而()0,;gzzK故必有由惟一性定理()0,.gzzD有例41,(1,2,)?znn问在原点解析在处取下列各组值的函数是否存在1111(1)1,1,,,,,33551234(2),,,,3579解(1)(),fz假设函数满足11111(1,2,)1,1,,,,,,3355znn在处分别取值则11(),(1,2,);2121fkkk1{}0,21zk这里点列以为极限点由惟一性定理知:(),fz若在原点解析()();fzgzz11(),(1,2,);221fkkk但故不存在.(2)由于函数值点列有1,1212nnn1()2fzz而函数满足:11(),1,2,12fnnn显然它在原点解析,故合条件的函数存在且为1().2fzz();gzz而函数解析且满足11(),(1,2,);2121gkkk3推论4.22,;.zz一切在实轴上成立的恒等式在平面上也成立只要这个恒等式的等号两边在平面上都是解析的21cos2sin.2zz例证明：证明21cos2()sin,()2zfzzgz设(),()fzgzzC则在平面上解析，zxR即当时，21cos2sin,.2xxxR而()()fzgz，故由惟一性定理，()().fzgzzC，21cos2sin.2zz即例51,(1).zLnzz在内展开的主值支成的幂级数解(1)ln(1)1,Lnzzz的主值支在内解析由数分知10ln(1)(1),(1,1)1nnnxxxn10(1)1,1nnnzn而幂级数的收敛半径为1(),zgz它在内收敛于一个解析函数10()(1);11nnnzgzzn即(1,1)x但当时0()(1)1nnnxgxn故由惟一性定理,1,()ln(1);zgzz在内ln(1)1zz故得在内的展开式为10ln(1)(1);1.1nnnzzzn注1:数分中常见的一些初等函数的幂级数展开式都可推广到复函数上来.如0,,!nxnxexn0,.!nznzezn则ln(1),x注2定理4.20,推论4.21,4.22统称为惟一性定理,它揭示了解析函数一个非常深刻的性质,函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体值,即局部与整体之间有着十分密切的关系.注3(),().DfzDD对区域内的解析函数若其在内某一子域小弧段上等于零,则其内恒为零证明:sup(),zDMfz设0,()0;Mfz若则为常数,;M若则定理成立0,M故设“反证”00,(),zDfzM若使得由平均值定理,只要圆0:,KzzRD含于就有20001()(Re),2ifzfzd三最大模原理(),(),().fzDfzDDfz设在区域内解析则在内任何点都不可能达到最大值除非在内恒等于常数1定理4.23下面证明:,02对有0(Re),ifzM0,假若使00(Re),ifzM(),fz由的连续性00,使当时0(Re),ifzM故0()Mfz2001(Re)2ifzd0000001[(Re)(Re)2iifzdfzd020(Re)]ifzd,M矛盾.2001(Re),2ifzdM故于是0()Mfz2001(Re)2ifzd,M因此,我们证明了,0(),zfzM在以为心的每一个充分小圆周上有0(),zKfzM即在充分小邻域内有(),fzK故在内为常数(),fzDKD而在区域内解析()fzD故在内必为常数注解析函数在边界上的最大模可以限制其在区域内的最大模.2推论4.24(1)()fzDDDD设函数在有界区域内解析,在闭域上连续;(2)(),;fzMzD(),(),.fzfzMzD则除为常数外注1:有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得.注2:Cauchy不等式中()()zaRMRMaxfz也可理解为()().zaRMRMaxfz例7()cos,,cos1.fzzzrzz设证明在任何圆周上都有点使证明:()cos,fzz由于在z平面上解析且不为常数(0)cos01,f又由最大模原理,,zrz在任何圆周上都有点使cos1.z例8(),0,fzzRazR设在闭圆上解析如果存在使当时()fza而且(0)fa().zRfz则在圆内至少有一零点证明:()zRfz若在内无零点,则由题设,(),fzzR在上也无零点故1(),()zzRfz在上解析此时11(0),(0)fa,zR但在上11(),()zfzazR故在上()(0)z与最大模原理相矛盾.3最小模原理(),()().fzDfzDfzD设在区域内解析又在内不是常数且无零点,则在内无最小值作业P180习题(一)8(2);9;12P180习题(一)13;14本节结束谢谢！ComplexFunctionTheoryDepartmentofMathematics