高考数学函数专题、函数的奇偶性、周期性与对称性

1函数专题（三）、函数的奇偶性、周期性与对称性1.判断函数奇偶性的第一步是判断函数定义域是否关于原点对称。2.几个初等函数的奇偶性：（1）函数baxy为奇函数时，b=0；为偶函数时，a=0.（2）函数cbxaxy2为奇函数时，a=c=0；为偶函数时，b=0.（3）幂函数xy为奇函数时，为奇数；为偶函数时，为偶数。（4）奇函数在原点有定义时一定经过原点。（5）定义域关于原点对称的常函数是偶函数。（6）既是奇函数又是偶函数的函数必是零函数。3.一个定义在R上的函数如果有两个对称轴或对称中心，则该函数一定是周期函数；函数如果满足奇偶性、周期性、对称性三个性质中的两个，则函数一定也满足剩余的那个性质。例1.函数201220111120112012)(xxxxxxxf，且Zaafaaf),1()23(2，则满足条件的所有整数a的和是__________例2.已知函数1222)(31xxxxf的最大值为M，最小值为m，则M+m等于___________变式训练：1.（2006浦东新区一模）若曲线)0(pxpxy上存在两个不同的点关于直线xy对称，则实数p的取值范围为_____________2.（2014崇明县一模）已知圆221xy及以下三个函数：①3()fxx；②()cosfxxx；③()tanfxx；其中图像能等分圆的面积的函数个数为（）A.3B.2C.1D.03.（2014虹口区一模）关于曲线42:1Cxy，给出下列四个命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线yx对称；③曲线C围成的面积大于；④曲线C围成的面积小于；上述命题中，真命题的序号为（）A.①②③B.①②④C.①④D.①③4.（2014嘉定区一模）定义在区间[1,)上的函数()fx满足：①(2)2()fxfx；②当24x时，()1|3|fxx，则集合{|()(34)}Sxfxf中的最小元素是（C）A.2；B.4；C.6；D.8；25.（2015松江区一模）已知函数)(xf，对任意),0[x，恒有)()2(xfxf成立，且当)2,0[x时，xxf2)(，则方程nxxf)(在区间*),2,0[Nnn上所有根的和为_________6.（2015杨浦区一模）已知)(xf是定义在R上的奇函数，当]1,0[x时，2)(xxf，当0x时，)1()()1(fxfxf，若直线kxy与函数)(xfy的图像恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为_____________7.（2016杨浦区一模）函数)(xf是最小正周期为4的偶函数，且在]0,2[x时，12)(xxf，若存在nxxx,,21满足nxxx210，且2016)()()()()()(13221nnxfxfxfxfxfxf，则nxn最小值为________8.设函数1201420132014)(1xxxf的最大值为M，最小值为N，那么M+N=_________9.若函数))(2()(22baxxxxxf是偶函数，则)(xf的最小值为___________10.（2015徐汇区一模）设函数)(xfy的定义域为D，若对于任意21,xx∈D，当axx221时，恒有bxfxf2)()(21，则称点（a，b）为函数)(xfy图像的对称中心。研究函数3sin)(xxxf的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到)20164013()20163()20162()20161(ffff的值为________11.（2014徐汇区一模）对于方程为111||||xy的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M，N，P，Q，都在曲线C上，则四边形MNPQ每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是（）A.（1）（2）；B.（1）（3）；C.（2）（3）；D.（1）（2）（3）；12.（2013天津）已知函数)1()(xaxxf．设关于x的不等式)()(xfaxf的解集为A，若A]21,21[，则实数a的取值范围是（）A.)0,251(B.)0,231(C.)231,0()0,251(UD.)251,(313.（2015崇明县一模）设函数)(xfy的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意Dx，都有)()(xfTTxf，则称函数)(xfy是“似周期函数”，非零常数T为函数)(xfy的“似周期”；现有下面四个命题：①如果“似周期函数”)(xfy的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数xxf)(是“似周期函数”；③函数xxf2)(是“似周期函数”；④如果函数xxfcos)(是“似周期函数”，那么“Zkk,”；其中是真命题的是______________________（填序号）14.设函数138)1(log)(2221xxxf，则不等式2)(log)(log212xfxf的解集为______15.设函数)(xf是定义在R上的奇函数，当x＜0时，xexxf)(，则)3l(nf=________16.给出定义：若2121mxm（其中m为整数），则m叫离实数x最近的整数，记作mx][，已知xxxf][)(，下列四个命题：①函数)(xf的定义域为R，值域为]21,0[；②函数)(xf是R上的增函数；③函数)(xf是周期函数，最小正周期为1；④函数)(xf是偶函数，其中正确的命题是_________________（填序号）17.函数][)(xxxf，x∈R（其中][x表示不超过x的最大整数）的最小正周期是________18.已知定义域为R的函数)(xfy在[0，7]上只有1和3两个零点，且)2(xfy与)7(xfy都是偶函数，则函数)(xfy在[0，2013]上的零点个数为（）A.402B.403C.404D.405419.（2012黄浦区二模）已知函数)(xfy是定义域为R的偶函数，且对Rx，恒有)1()1(xfxf，又当]1,0[x时，xxf)(．（1）当]0,1[x时，求)(xf的解析式；（2）求证：函数)(xfy是以2T为周期的周期函数；（3）解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可（无需写解题步骤）：①当)](2,12[Znnnx时，求)(xf的解析式；②当)](12,12[Nnnnx时，若函数)(xfy的图像与函数kxy的图像有且仅有两个公共点，求实数k的取值范围；③当)3,](2,0[nNnnx时，求)(xf的解析式；20.（2014青浦区一模）已知函数11()||||fxxxxx.（1）作出函数()fx的图像，并求当0x时()xafx恒成立的a取值范围；（2）关于x的方程2()3()6(5)0kfxkfxk有解，求实数k的取值范围；（3）关于x的方程2()()0fxmfxn（,mnR）恰有6个不同的实数解，求m的取值范围。