指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

1/9指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果nxa,那么x叫做a的n次方根1nnN且当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数na零的n次方根是零当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数(0)naa负数没有偶次方根（2）．两个重要公式①)0()0(||aaaaaaann；②aann)(（注意a必须使na有意义）。2．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:(0,,1)mnmnaaamnNn、且。②正数的负分数指数幂:11(0,,1)mnmnmnaamnNnaa、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a0,r、s∈Q)。②(ar)s=ars(a0,r、s∈Q)。③(ab)r=arbs(a0,b0,r∈Q)。.3．指数函数的图象与性质n为奇数n为偶数2/9y=axa10a1图象定义域R值域（0，+）性质（1）过定点（0，1）（2）当x0时，y1。x0时,0y1(2)当x0时，0y1。x0时,y1(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1,∴cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)xaNaa且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作logNax，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a0,1aa且logNa常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1aa且）：①1log0a，②log1aa，③logNaaN，④logNaaN。3/9（2）对数的重要公式：①换底公式：loglog(,1,0)logNNabbaabN均为大于零且不等于；②1loglogbaab。（3）对数的运算法则：如果0,1aa且，0,0MN那么①NMMNaaaloglog)(log；②NMNMaaalogloglog；③)(loglogRnMnMana；④bmnbanamloglog。3、对数函数的图象与性质图象1a01a性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当01x时，(,0)y；当1x时，(0,)y（4）当1x时，(,0)y；当01x时，(0,)y（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。∴0cd1ab.4/94、反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。（三）幂函数1、幂函数的定义形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。2、幂函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，12yx，y=x-1方法：可画出x=x0；当x01时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，12yx，y=x-1；当0x01时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1，12yx，y=x，y=x2，y=x3。3、幂函数的性质y=xy=x2y=x312yxy=x-1定义域RRR[0，）|0xxRx且值域R[0，）R[0，）|0yyRy且奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，）时，增；x∈(,0]时，减增增x∈(0,+)时，减；x∈(-,0)时，减定点（1，1）三：例题诠释，举一反三知识点1：指数幂的化简与求值例1.(2007育才A)（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(；5/9（2）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132bababa（2）.)4()3(6521332121231bababa(3)1200.2563433721.5()82(23)()63知识点2：指数函数的图象及应用例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式ba)31()21(，下列五个关系式：①0＜b＜a。②a＜b＜0。③0＜a＜b。④b＜a＜0。⑤a=b.其中不可能成立的关系式有（）A.1个B.2个C.3个D.4个变式：（2010华附A）若直线ay2与函数0(|1|aayx且)1a的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.知识点3：指数函数的性质例3.（2010省实B）已知定义域为R的函数12()22xxbfx是奇函数。（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数fx的单调性。（Ⅲ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围．变式：（2010东莞B）设a＞0,f(x)=xxaaee是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.知识点4：对数式的化简与求值例4.（2010云浮A）计算：（1）)32(log32（2）2(lg2)2+lg2·lg5+12lg)2(lg26/9（3）21lg4932-34lg8+lg245.变式：（2010惠州A）化简求值.（1）log2487+log212-21log242-1。（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25。（3）(log32+log92)·(log43+log83).知识点5：对数函数的性质例5.（2011深圳A）对于01a，给出下列四个不等式：①1log(1)log();aaaaa②1log(1)log(1)aaaa；③111;aaaa④111;aaaa其中成立的是（）（A）①与③（B）①与④（C）②与③（D）②与④变式：（2011韶关A）已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则logabbbba1log,log,1的大小关系是（）A.logabbbba1loglog1B.bbbbaa1log1loglogC.bbbaba1log1loglogD.bbbaablog1log1log例6.（2010广州B）已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.变式：（2010广雅B）已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.知识点6：幂函数的图象及应用例7.(2009佛山B)已知点(22)，在幂函数()fx的图象上，点124，，在幂函数()gx的图象上．问当x为何值时有：（１）()()fxgx；（２）()()fxgx；（３）()()fxgx．变式：（2009揭阳B）已知幂函数f(x)=x322mm（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x)。（2）讨论F（x）=a）（）（xxfbxf的奇偶性.四：方向预测、胜利在望1．（A）函数41lg)(xxxf的定义域为（）A．(1，4)B．[1，4)C．(－∞，1)∪(4，＋∞)D．(－∞，1]∪(4，＋∞)2.（A）以下四个数中的最大者是（）(A)(ln2)2(B)ln(ln2)(C)ln2(D)ln23（B）设a1，函数f(x)=logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为,21则a=()(A)2（B）2（C）22（D）47/94.（A）已知()fx是周期为2的奇函数，当01x时，()lg.fxx设63(),(),52afbf5(),2cf则（）（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab5.（B）设f(x)=1232,2,log(1),2,xexxx则不等式f(x)2的解集为（）(A)（1，2）（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）（10，+∞）(D)（1，2）6．（A）设2log3P，3log2Q，23log(log2)R，则（）Ａ．RQPＢ．PRQＣ．QRPＤ．RPQ7．(A)已知cab212121logloglog，则()A．cab222B．cba222C．abc222D．bac2228．（B）下列函数中既是奇函数，又是区间1,1上单调递减的是（）（A）()sinfxx(B)()1fxx(C)1()()2xxfxaa(D)2()2xfxlnx9.（A）函数12log(32)yx的定义域是：（）A[1,)B23(,)C23[,1]D23(,1]10.(A)已知函数kxyxy与41log的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则k（）A．41B．41C．21D．2111．（B）若函数的图象经过第二且)10(1)(aabaxfx、三、四象限，则一定有（）A．010ba且B．01ba且C．010ba且D．01ba且12．(B)若函数)10(log)(axxfa在区间]2,[aa上的最大值是最小值的3倍，则a=（）A.42B.22C.41D.2113.(A)已知0＜x＜y＜a＜1，则有（）（A）0)(logxya（B）1)(log0xya（C）2)(log1xya（D）2)(logxya14.（A）已知xxf26log)(，那么)8(f等于（）（A）34（B）8（C）18（D）2115．（B）函数y＝lg|x|（）A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减16.（A）函数3)4lg(xxy的定义域是____________________________.8/917．（B）函数1(01)xyaaa，的图象恒过定点A，若点A在直线10(0)mxnymn上，则11mn的最小值为．18．（A）设,0.(),0.xexgxlnxx则1(())2gg__________19．（B）若函数f(x)=1222aaxx的定义域为R，则a的取值范围为___________.20．(B)若函数)2(log)(22aaxxxf是奇函数，则a=．21.(B)已知函数xxxxf11log1)(2，求函数)(xf的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.参考答案：三：例题诠释，举一反三例1.解：（1）92，（2）2a变式：解：（1）1,（2）.4514545)(45)·2(2523232123313612331361abababbababababa(3)110例2.解：B变式：解：)21,0(；例3.解：（Ⅰ）1b（Ⅱ）减函数。（Ⅲ）31k变式：解：（1）a=1.（2）略