信息技术融合：独立重复实验与二项分布教学设计

信息技术与学科教学深度融合教学案例独立重复实验与二项分布山东省平度第一中学王尊甫山东省平度第一中学数学学科教研中心教学设计课题名称:2.2.3独立重复实验与二项分布姓名王尊甫年级高二课型概念课新授教材版本选修2－3（人教A版）一、教学内容分析本节是选修2－3第二章的第二节.独立重复实验是研究随机现象的重要途径之一,很多概率模型的建立都以独立重复实验为背景,二项分布就是来自于独立重复试验,是认识和解决现实生活问题的一个重要模型和重要工具.教材遵循了从实际中归结模型、应用模型、解决问题的过程,让学生能够进一步体会概率模型在解决实际问题中的重要作用.从教材位置上分析,在此之前,教材安排了条件概率、事件的相互独立性等概率模型,以及两点分布和超几何分布.第三节是离散型随机变量的均值与方差.本节内容是之前学习内容的必要补充,同时又为第三节的学习铺平道路,起承上启下的作用.二、学习者特征分析本节课之前,学生已研究了离散型随机变量及其分布列,以及条件概率与事件独立性的概念,为二项分布的学习做好了知识铺垫.通过平时的观察、交流、了解,学生已经初步掌握事件概率求解的一般规律和方法,能够借助离散型随机变量的分布解决简单的实际问题.但是学生的建模意识和能力较差,对于知识的学习以被动接受为主,探究意识不足,质疑和辨析意识欠缺.三、学习目标通过操作、观察、对比分析,能够从具体事例中归纳出独立重复实验的特征,猜想并论证概率公式,能够准确地判断一个具体问题是否服从二项分布,并能正确的借助二项分布的模型解决相应的实际问题.在经历直观体验——理性分析、归纳——演绎的数学探究过程中感悟由特殊到一般、由具体到抽象的数学思想方法,建立起对立统一与普遍联系的哲学观点,以及勇于探索、敢于创新的精神.四、教学策略选择与设计根据以上分析,教师依次推进“情境引入——新知探究——典例精讲——应用深化——当堂检测——自主小结”六个环节,以独立重复实验的概念与二项分布为知识中心,以问题的探究和解决为主线,以问题为诱因,引起学生的认知冲突和思维碰撞,通过观察、探究、猜想、证明等多样化的活动,搭建深度学习的平台,提升学生思维品质,让学生亲历体验、感受、创造的过程,积累基本活动经验.五、信息技术辅助以实物展台为工具,或以手机无线连接的方式同步学生求解过程,充分展示学生的思维过程,并以之为资源进行生生点评、教师点评,开展教学评价,一方面体现为学而教的学生主体地位,另一方面提高课堂效率;以希沃教学软件为工具,充分利用倒计时、灯光聚焦、局部放大等功能,提升学生注意力,引导学生关注重要节点,逼近数学本质,提升探究体验;充分利用EXCEL软件中的函数及图表功能,直观呈现二项分布与超几何分布的区别与联系,对二项分布的内涵和外延进行深度探索,加深理解,帮助学生建立起较为系统的知识体系.六、教学重点及难点重点:1.n次独立重复实验的特征;2.准确判断二项分布模型,并能解决一些简单的实际问题.难点:1.利用二项分布模型解决实际问题.2.辨析二项分布与两点分布、超几何分布的区别与联系,建立起对立统一与普遍联系的哲学观点.七、教学预设随机事件随机变量的分布列随机变量概率教学过程预设设计意图课前练习（见导学案）引入现实生活中,随机现象表现各异.但是我们只要了解了随机事件可能出现的结果以及每一个结果发生的概率,也就基本把握了它的统计规律.所以,概率是描述随机事件的重要数字特征.为了更方便地使用数学工具研究统计规律,我们舍弃随机事件的具体背景,将随机试验的结果数字化,这样随机事件与相应的概率就会在实数空间内生成为一定的函数关系,并呈现出一些规律和共性,甚而生成特殊的分布.例如,课前练习中,随机变量X服从_________生:超几何分布.概率公式是_________生:},min{,,2,1,0,)(nMkCCCkXPnNknMNkM（师板书:超几何分布,},min{,,2,1,0,)(nMkCCCkXPnNknMNkM本例中应用的概率模型是_________生:古典概型.随机事件形形色色,事件之间的关系需要细加甄别.我们上节课学习了一种新的事件关系——相互独立事件.诗云:“归山深浅去,须尽丘壑美”.学科的学习也是如此.今天,我们将继续探寻相互独立事件的概率求解和其中蕴含的统计规律.新知探究问题1:哪位同学可以举一个独立事件的例子？生1:某射手每次射击击中目标的概率是0.9,每次射击结果互不影响.该射手连续射击两次.生2:一个口袋内装有大小相同的3个白球和2个红球,从中有放回地抽取三次,每次抽取一个球.问题2:每一次实验发生的结果有几种,前一次实验的结果是否影响后一次的结果,每次实验是否相互独立？生1:每次实验共有两种不同的结果,击中目标或未击中目标.击中目标的概率均相等,每次实验结果相互独立.每次实验结果从事件关系分类上讲,它们是_________（生:互为对立事件）每次实验结果的概率分别是_________（生:0.9,0.1）师:单看一次实验的话,有没有特殊的分布与之对应？简示随机变量的分布列研究的具体内容及学习分布列的自然性与必要性.回顾基础,作好知识储备,为后续的学习做好准备.同时,让学生在学习中体会知识间的联系.诗文入课堂,体现数学探究的文化性,提升趣味性.从数学实际问题情境出发,提出问题,活跃课堂气氛,学生的热情被充分地调动,从而让学生在不知不觉中进入教师设计的教学情景中.以问题不断驱动学生回顾、联系、生1:以实验的次数为随机变量,则该事件服从两点分布.（师板书:两点分布,1,0,1)(XpXpXP）生2:每一次实验共两类结果,互为对立事件.每一次实验都是在2个白球和3个红球的口袋中进行,从中摸出白球（红球）的概率是相等的,每次抽取的结果互不影响,相互独立.每次摸出白球和摸出红球的概率分别是0.6,0.4.单看一次实验的话,以摸出白球（红球）的次数为随机变量,则该事件服从两点分布.问题3:以上两个随机事件从事件结果以及事件结果发生的概率上有什么样的共同点？请尝试归纳.生3:每次试验的结果只有两种,并且各次试验之间相互独立,在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等.师:结合以上问题,请用简洁的语言或词语概括此类实验的特征.生4:对立性、独立性、等概率性.生5:我补充一点,单次实验结果服从两点分布.师板书:对立性、独立性、等概率性,单次实验结果服从两点分布.生活中我们经常碰到一些随机事件,例如临床试验中研究服用某种药物疾病治愈的人次,投篮稳定的运动员多次投篮命中的次数等等,它们都像刚才的例子一样,在相同的条件下重复做大量试验,在试验中,各次试验的结果都不会受到其他试验结果的影响.我们把在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.师板书:独立重复实验.请同学们结合“三性”逐字品读一下“独立重复实验”这个名词,注意体会一下定义中的“相同条件”的含义.生6品读,简谈对于定义中的“相同条件”的认识.教师完善.下面,我们不妨以生1所举的事例开始今天的探究.问题4:请一位同学在该情境下设置一个基础性的问题.生7:求两次射击都击中目标的概率.或:求两次射击都未（恰有一次）击中目标的概率.请同学们独立解答.稍后,展示学生求解过程和结果.问题5:在这个案例中,显然,我们关心的是射击击中目标的次数.该射手连续射击两次,如果我们设事件“击中目标的次数”为随机变量X.请问,X的可能取值都有哪些,对应的概率又是多少呢？师引导学生分析事件,共同书写概率代数式.问题6:如果射手每次射击击中目标的概率是0.9,若该射手连续射击3次,“击中目标的次数”设为随机变量Y,Y的可能取值都有哪些,对应的概率又是多少呢？Y0123事件分析概率求解问题7:如果射手每次射击击中目标的概率是p,若该射手连续射击n次,“击中目应用、归纳,逐步生成独立重复实验的概念及特征.指导学生用简洁的语言描绘特征.结合特征,品读“独立重复实验”,加深认知印象.自拟问题,体现学生的主动性,培养学生的问题意识和应用意识.以表格的形式增强随机事件取值与概率的对应性,并逐步将事件从特殊推广到一般,让学生在解决问题的过程中,经历标的次数”设为随机变量Z,Z的可能取值都有哪些,对应的概率又是多少呢？学生逐步完成导学案中的表格1、2.教师展示,学生对照纠错.师:观察表格中的数据变化,请类比超几何分布的概率公式,在实数空间内建立随机变量与对应概率之间的函数关系,书写在表后的横线上.学生书写后,师借助希沃软件,将表中的kZ这一列进行聚焦,并放大.生成函数关系:nkppCkXPknkkn,,2,1,0,)1()(教师板书:nkppCkXPknkkn,,2,1,0,)1()(师引领学生分析公式中字母的含义,重点分析knC的含义,站在科学的立场上进行解释.问题8:请结合离散型随机变量分布列的性质,辨析它是否可以作为离散型随机变量的分布列？试叙述理由.生8:每一种事件结果的概率都满足:0ip,并且11niip.追问:请解释一下,你是如何证明概率之和为1的？生8:因为事件的所有结果都进行了求解,而且满足不重不漏.师:有一定的道理,从事件结果全覆盖来解释.生9:我发现该公式和二项式定理展开式的通项公式相似,概率之和就是1])1[(npp.师:非常好.能够利用所学的知识发散地考虑问题.大家有没有观察到这一细节？如果将该公式看作nba)(展开式的通项公式,谁是a,谁又是b？它们在问题情境中的具体含义是什么？生9:p1是a,在情境中指的是不成功的概率,p是b,指的是成功概率.师:所以,事物之间是普遍联系的,当然这种隐秘的联系需要我们积极开动脑筋去寻找和发现.大家可以借用二项式定理展开式的通项公式辅助记忆独立重复实验的概率公式.好的,我们可以利用二项式定理来证明概率之和为1,而且在每次试验中随机事件只有两种对立的结果.我们不妨把这种分布称之为“二项分布”,也叫Bernolli分布.（板书:二项分布）展示概念:在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为Z012…k…n事件分析……概率……尝试操作、积极反思、自主梳理、归纳猜想、科学论证的知识探究过程,体验由量变到质变、从一般到特殊、从外在形式到内在规律的知识提取升华过程,激活潜在的学习热情.借助信息技术,聚焦核心,强化探究体验,突显数学本质.对猜想进行科学论证,同时为概念的生成伏脉.自然生成概念,并适时指导学生利用二项分布与二项式定理的联系记忆公式.nkppCkXPknkkn,,2,1,0,)1()(,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).师介绍代数符号写法.当然,和其他的离散型随机变量的分布列一样,二项分布也可以看作一种特殊的函数.以上分别是它不同的表示形式:表格、解析式.我们也可以使用柱状图表示.借助EXCEL程序,通过BINOMDIST函数求解概率,插入图表,生成柱状图.下面,我们趁热打铁,来应用一下新学的知识.典例精讲例题:某射手每次射击击中目标的概率是0.8.求这名射手在4次射击中,（1）恰有3次击中目标的概率;（2）恰有2次击中目标的概率;（3）至少有3次击中目标的概率;（4）射中目标的次数X的分布列;（5）击中目标的概率.师引领学生回扣定义,判断是否存在随机变量服从二项分布.师示范（1）的解答,并强调步骤的规范性.学生独立完成（2）、（3）、（4）、（5）.展示学生作答,学生评价.师引领学生评价（3）的解法,比较分析“至少”问题的求解方法,引导学生灵活地根据条件选择合理的方案.教师展示（4）,对解析式、图表等不同格式进行说明.师引领学生分析（5）中“击中目标”的含义,并说明求解的方法.师总结:求解分布列,概率模型是关键;而求解概率,事件分析是重点.分布列中已经包含了所有的事件结果及其概率,可以完整的反映随机事件的统计规律.应用深化我们再回到生2的例子:一个口袋内装有大小相同的3个白球和2个红球,从中有放回