15.4期末复习(第13章整式的乘除)

第13章整式的乘除复习知识归纳数学·人教版（RJ）法则名称文字表示式子表示同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数，指数am·an＝(m、n为正整数)幂的乘方幂的乘方，底数，指数(am)n＝(m、n为正整数)积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别，再把所得的幂(ab)n＝(n为正整数)不变相加不变相乘乘方相乘am＋namnanbn1．幂的运算法则数学·人教版（RJ）同底数幂的除法同底数幂相除，底数，指数am÷an＝(a≠0，m、n为正整数，且mn)相同点运算中的不变，只对作运算不同点(1)同底数幂相乘是指数；(2)幂的乘方是指数；(3)积的乘方是每个因式分别；(4)同底数幂相除是指数相加相乘乘方相减底数指数不变相减am－n数学·人教版（RJ）[注意](1)其中的a、b代表的不仅可以是单独的数、单独的字母，还可以是一个任意的代数式；(2)这几个法则容易混淆，计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．2．整式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个.单项式与多项式相乘，用和的每一项分别相乘，再把所得的积.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的与另一个多项式的相乘，再把所得的积.系数相同字母的幂因式单项式多项式相加每一项每一项相加数学·人教版（RJ）3．乘法公式公式名称两数和乘以这两数的差两数和(差)的平方文字表示两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方差两数和(差)的平方，等于这两数的加上(减去)的2倍平方和这两数积式子表示(a＋b)(a－b)＝(a±b)2＝a2－b2a2±2ab＋b2数学·人教版（RJ）结构特点①左边是两个项式相乘，这两个二项式中有一项，另一项；②右边是项式，是乘式中两项的，即相同项的平方与相反项的平方的差①左边是一个项式的和(或差)的；②右边是项式，是左边二项式中两项的，再(或减去)它们的2倍顺口溜和差积，平方差首平方，尾平方，首尾倍中间放，加减看前方，同加异减二完全相同互为相反数二平方差二平方三平方和加上积两第十一章|复习数学·人教版（RJ）公式的常用变形a2＝(a－b)＋b2；b2＝－(a＋b)(a－b)a2＋b2＝(a＋b)2－或(a－b)2＋；(a＋b)2＝(a－b)2＋(a＋b)a22ab2ab4ab[点拨](1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算；(2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式．数学·人教版（RJ）4．整式的除法(1)单项式除以单项式单项式相除，把、分别相除作为商的，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个.(2)多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个，再把所得的商.[点拨]多项式除以单项式实质上是用计算法则转化为单项式除以单项式．系数同底数幂因式因式单项式相加考点攻略数学·人教版（RJ）考点一同底数幂的乘法计算a2·a3的结果是()A．2a6B．2a5C．a6D．a5D[解析]D根据am·an＝am＋n，知道a2·a3＝a5，所以选D.易错警示(1)法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”易被误记为“指数相乘”；(2)同底数幂的加法与乘法容易混淆，an＋an＝2an，而an·an＝a2n.数学·人教版（RJ）考点二幂的乘方例2计算(a3)2·a3的结果是()A．a8B．a9C．a10D．a11B[解析]B本题先用幂的乘方法则计算(a3)2，再用同底数幂的乘法法则得到最后的结果．易错警示幂的乘方法则中的“指数相乘”容易被误记为“指数相加”．数学·人教版（RJ）考点三积的乘方计算－(－3a2b3)4的结果是()A．81a8b12B．12a6b7C．－12a6b7D．－81a8b12D[解析]D根据积的乘方法则可得：－(－3a2b3)4＝－(－3)4(a2)4(b3)4＝－81a8b12.所以选D.易错警示同底数幂的乘法与积的乘方易混淆，am·an＝am＋n，(ab)n＝anbn.数学·人教版（RJ）考点四同底数幂的除法例4下列运算正确的是()A．a6÷a2＝a6÷2＝a3B．x3÷x2＝x3－2＝xC．(－a)2×a3÷a3＝a2×(a3÷a3)＝a2D．(－0.25)2012×42013＝－4×(0.25×4)2012＝－4B[解析]B选项A中误把指数相减当作指数相除；选项B用了同底数幂的运算法则，正确；选项C运算顺序不对；选项D逆用了积的乘方法则，但符号弄错了．易错警示(1)要牢记幂的运算性质，相关知识不要混淆；(2)混合运算要按从高级到低级、同级运算从左到右的顺序进行．数学·人教版（RJ）考点五整式的乘法当x＝－7时，求代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值．[解析]先化简，再代入求值．解：根据多项式相乘的法则得(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)＝2x2＋2x＋5x＋5－x2－x＋3x＋3＝x2＋9x＋8，当x＝－7时，原式＝－6.多项式乘以多项式可以转化为多项式乘以单项式，进而再转化为单项式乘以单项式．用整体思想解题，有时可以大大地简化计算过程．方法技巧数学·人教版（RJ）考点六两数和乘以这两数的差计算：(x＋y)2－(x－y)2.[解析]本题可以从整体上把握，用平方差公式计算，也可以分别用两数和(差)的平方公式计算．解：(x＋y)2－(x－y)2＝(x＋y＋x－y)(x＋y－x＋y)＝2x×2y＝4xy.分清题中哪些数或式可以看作公式中的a、b，对号入座，然后直接套用公式．方法技巧、易错警示数学·人教版（RJ）考点七两数和(差)的平方例7计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)[解析]利用加法交换律和结合律，可以将题目变形拼凑成符合公式的形式．解：原式＝(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)＝[(2x＋5)＋(y－z)][(2x＋5)－(y－z)]＝(2x＋5)2－(y－z)2＝4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2.数学·人教版（RJ）易错警示在使用两数和(差)的平方公式时应注意以下几点：(1)不要发生类似(a±b)2＝a2±b2的错误；(2)不要与公式(ab)2＝a2b2混淆；(3)切勿把“乘积项”2ab中的2漏掉．数学·人教版（RJ）先化简，再求值：a(a－2b)＋2(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2，其中a＝－12，b＝1.[解析]本题的三部分分别采用的方法是：单项式乘以多项式、平方差公式再用单项式乘以多项式、两数和的平方公式．解：原式＝4a2－b2.当a＝－12，b＝1时，原式＝0.数学·人教版（RJ）方法技巧(1)在使用两数和(差)的平方公式时，往往忽视公式的下列变形：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy；x2＋y2＝(x－y)2＋2xy；(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy等，希望引起注意；(2)注意乘法公式的可逆性，乘法公式既然从左边可以到右边，那么也一定能从右边到左边．数学·人教版（RJ）考点八整式的除法例9先化简，再求值：23a4b7－19a2b6÷－13ab32，其中a＝1，b＝12.[解析]本题是一道多项式除以单项式的题目，计算时要注意运算顺序、用对运算法则．解：23a4b7－19a2b6÷－13ab32＝23a4b7－19a2b6÷19a2b6＝23a4b7÷19a2b6－19a2b6÷19a2b6＝6a2b－1.当a＝1，b＝12时，原式＝6×12×12－1＝2.数学·人教版（RJ）(1)计算时不要漏掉商为1的项；(2)多项式除以单项式所得商的项数与原多项式的项数相同，商的各项符号由原多项式的各项符号与单项式符号确定，即“同号相除得正，异号相除得负”．易错警示数学·人教版（RJ）先化简，再求值：(4ab3－8a2b2)÷4ab＋(2a＋b)(2a－b)，其中a＝2，b＝1.[解析]本题在化简时，主要分两部分：对于(4ab3－8a2b2)÷4ab采用多项式除以单项式的方法计算；对于(2a＋b)(2a－b)采用平方差公式计算．解：化简原式＝b2－2ab＋4a2－b2＝4a2－2ab.当a＝2，b＝1时，原式＝4×22－2×2×1＝12.数学·人教版（RJ）1．若2x＝3,4y＝5，则2x－2y的值为()A.35B．－2C.355D.65A2．若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则适合条件的m、k的值应是()A．m＝3,k＝8B．m＝－3,k＝8C．m＝8,k＝3D．m＝－3,k＝3BB把四张大小相同的长方形卡片(如图12－1①)分别按图②、图③两种方式放在一个底面为长方形(长比宽多6cm)的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为C2，图③中阴影部分的周长为C3，则()图12－1A．C2＝C3B．C2比C3大12cmC．C2比C3小6cmD．C2比C3大3cm数学·人教版（RJ）[解析]B设小长方形的长为acm，宽为bcm，大长方形的宽为xcm，长为(x＋6)cm，∴图②阴影的周长为：2(x＋6＋x)＝(4x＋12)cm，图③上面的阴影周长为：2(x－a＋x＋6－a)cm，图③下面的阴影周长为：2(x＋6－2b＋x－2b)cm，∴图③阴影的总周长为：2(x－a＋x＋6－a)＋2(x＋6－2b＋x－2b)＝4(x＋6)＋4x－4(a＋2b)．又∵a＋2b＝x＋6，∴4(x＋6)＋4x－4(a＋2b)＝4x，∴C2比C3大12cm.数学·人教版（RJ）七年级(1)班小明同学做一道题：“已知两个多项式A、B，A＝x2＋2x－1，计算A＋2B”．他误将A＋2B写成2A＋B，结果得到答案是x2＋5x－4，请你帮助他求出正确的答案．解：∵A＝x2＋2x－1，∴2A＋B＝2(x2＋2x－1)＋B＝x2＋5x－4，∴B＝x2＋5x－4－2(x2＋2x－1)＝x2＋5x－4－2x2－4x＋2＝－x2＋x－2，∴A＋2B＝x2＋2x－1＋2(－x2＋x－2)＝－x2＋4x－5.数学·人教版（RJ）已知(x＋y)2＝1，(x－y)2＝49，求：(1)xy；(2)x2＋y2.解：(1)∵(x＋y)2＝1，(x－y)2＝49，∴(x＋y)2－(x－y)2＝1－49，得4xy＝－48，故xy＝－12.(2)∵(x＋y)2＝1，即x2＋y2＋2xy＝1，由(1)xy＝－12，得x2＋y2＝25.数学·人教版（RJ）图12－2①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．(1)求出图①的长方形面积；(2)将四块小长方形拼成如图②所示的正方形，利用阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式(a＋b)2、(a－b)2、ab之间的等量关系．图12－2解：(1)(a＋a)(b＋b)＝4ab.(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab.知识归纳数学·人教版（RJ）1．因式分解的意义把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做多项式的因式分解．因式分解的过程和的过程正好相反．2．用提公因式法分解因式公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的；字母取多项式各项的字母；各字母指数取次数最的．一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到外面，将多项式写成的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．[注意]提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时先要考虑多项式的各项有无公因式．积整式乘法最大公约数相同低括号因式乘积数学·人教版（RJ）3．用公式法分解因式把反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．这两个公式是：(1)逆用平方差公式＝；(2)逆用两数和(差)的平方公式[点拨]这里的两个公式是用来分解因式的，与乘法公式刚好左右互换．运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数、次数、系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数、字母、单项式或多项式，只有符合公式的特征时才能运用公式．乘法公式(a＋b)(a－b)a2－b2a2±2ab＋b2＝。(a±b)2.数学·人教版（RJ）4．因式分解的步骤(1)如果多项式的各项有公因式，那么先；(2)在