小学数学奥数方法讲义40讲(三)(1)

找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网第二十一讲守恒法应用题中的数量有的是变化的，有的是始终不变的。解应用题时，抓住始终不变的数量，分析不变的数量与其他数量的关系，从而找到解题的突破口，把应用题解答出来的解题方法，叫做守恒法，也叫抓不变量法。（一）总数量守恒有些应用题中不变的数量是总数量，用守恒法解题时要抓住这个不变的总数量。例1晶晶要看一本书，计划每天看15页，24天看完。如果要12天看完，每天要看多少页？如果改为每天看18页，几天可以看完？（适于三年级程度）解：无论每天看多少页，总是看这一本书，只要抓住这本书的“总页数不变”这个关键，问题就好办了。这本书的总页数是：15×24=360（页）如果要12天看完，每天要看的页数是：360÷12=30（页）如果改为每天看18页，看完这本书的天数是：360÷18=20（天）答略。此题由于第一步是用乘法求出总数，因此也叫做“归总”应用题。*例2用一根铁丝围成一个长26厘米，宽16厘米的长方形。用同样长的铁丝围成一个正方形，正方形所围成的面积是多少？（适于三年级程度）解：这根铁丝的长是不变的量，铁丝围成的长方形的周长和正方形的周长相同。即：26×2+16×2=52+32找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网=84（厘米）正方形的边长是：84÷4=21（厘米）正方形所围成的面积是：21×21=441（平方厘米）答略。解：书架上书总的本数是不变的数量，设它为单位1。从“上层书的本书总的本数分成5份，上层的书占总本数的因此，书总的本数是：原来书架的上层有书：找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网原来书架的下层有书：90-18=72（本）（二）部分数量守恒当应用题中不变的数量是题中的一部分数量时，要抓住这个不变的部分数量解题。例1一辆汽车，从甲站到乙站，要经过20千米的平路，45千米的上坡路，15千米的下坡路。如果这辆汽车在平路上每小时行40千米，在上坡路上每小时行30千米，在下坡路上每小时行45千米。照这样的速度行驶，这辆汽车在甲、乙两站间往返一次需要多少时间？（适于五年级程度）解：无论汽车行驶在平路上、上坡路上，还是在下坡路上，每一段路上的速度是不变的。这辆汽车往返一次共行：在平路（20+20）千米在上坡路（45+15）千米在下坡路（15+45）千米这辆汽车往返一次需要的时间是：答略。例2有含盐15％的盐水20千克，要使盐水含盐10％，需要加水多少千克？（适于六年级程度）解：题中盐的重量是不变的数量，盐的重量是：20×15％=3（千克）在盐水含盐10％时，盐的对应分率是10％，因此盐水的重量是：3÷10％=30（千克）加入的水的重量是：找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网30-20=10（千克）答略。解：文艺书的本数是不变的数量。文艺书有：=720（本）从后来两种书总的本数中减去原来两种书总的本数，得到买进科技书的本数：720-630=90（本）综合算式：=720-630=90（本）答略。找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网（三）差数守恒当应用题中两个数量的差是不变的数量时，要抓住这个差，分析数量关系解题。例1父亲今年35岁，儿子5岁。多少年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？（适于四年级程度）解：父子年龄的差是个不变的数量，始终是35-5=30（岁）在父亲年龄是儿子年龄的3倍时，父子年龄的差恰好是儿子年龄的2倍。因此，这时儿子的年龄是：30÷2=15（岁）15-5=10（年）答：10年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。*例2小明有200个枣，大平有120个枣。两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大平剩下枣的5倍。问两个人一共吃掉多少个枣。（适于四年级程度）解：两个人相差的枣的个数是不变的数量：200-120=80（个）两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大平剩下枣的5倍。这就是说大平剩下的枣是1份数，小明剩下的枣比大平剩下的枣多4份数。因为两人吃掉的枣的个数相同，所以相差数还是80个。这80个是4份数。因此，大平剩下的枣是其中的一份数：80÷4=20（个）大平吃掉的枣是：120-20=100（个）因为两个人吃掉的枣一样多，所以一共吃掉枣：100×2=200（个）答略。找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网*例3有甲、乙两个车间，如果从甲车间调出18人给乙车间，甲车间就比乙车间少3人；如果从两个车间各调出18人，乙车间剩下人数就是甲车间解：由“从甲车间调出18人给乙车间，甲车间就比乙车间少3人”可看出，甲车间比乙车间多2个18人又少3人，即甲车间比乙车间多：18×2-3=33（人）由“从两个车间各调出18人，乙车间剩下的人数就是甲车间剩下人数的甲车间原有的人数是：88+18=106（人）乙车间原有的人数是：106-33=73（人）答略。*例4甲种布的长是乙种布长的3倍。两种布各用去8米时，甲种布剩下的长是乙种布剩下长度的4倍。两种布原来各长多少米？（适于六年级程度）解：甲、乙两种布的长度差是不变的数量，解题时要以这个不变的数量作为标准量。原来乙种布的长是标准量的：找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网乙种布先后两个分率的差是：乙种布的长是：甲种布的长是：48+24=72（米）答略。第二十二讲两差法解应用题时，首先确定一个标准数（即1倍数），再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出1倍数，然后以此为基础，用乘法求出另一个数的解题方法，叫做两差法。用两差法一般是解答差倍问题。差倍问题的数量关系是：两数差÷倍数差=1倍数1倍数×倍数=几倍数较小数+两数差=较大数找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网例1某厂女职工人数是男职工人数的6倍，男职工比女职工少65人。这个厂男女职工共有多少人？（适于四年级程度）解：根据“人数差÷倍数差=1倍数”，有：65÷（6-1）=13（人）那么，这个厂男女职工共有的人数是：13×（6+1）=91（人）答略。例2小李买3本日记本，小华买同样的8本日记本，比小李多用2.75元。小李、小华两人分别用去多少钱？（适于五年级程度）解：小华比小李多用2.75元（总价差），是因为小华比小李多买（8-3）本（数量差）日记本，用这两个差求出每本日记本的价钱。小李用的钱数是：0.55×3=1.65（元）小华的钱数是：0.55×8=4.40（元）答略。例3甲、乙两数的差是28，甲数是乙数的3倍。问甲乙两数各是多少？（适于四年级程度）解：甲-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍数，28所对应的倍数是3-1=2（倍），则乙数可以求出。解法是：28÷（3-1）=14……………………………乙数14×3=42…………………………………甲数答：甲数是42，乙数是14。找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网例4一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人？一共有多少棵树苗？（适于五年级程度）解：把题中的条件简要摘录如下：每人5棵剩14棵每人7棵缺4棵比较两次分配的情况可看出，由于第二次比第一次每人多栽（7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差，可求出植树小组的人数，然后再求出原有树苗的棵数。（14+4）÷（7-5）=9（人）……………………人数5×9+14=59（棵）……………………………棵数答略。例5用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克；如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少克？（适于五年级程度）解：解这类题，要先找出“暗差”的等量关系，再找解题的最佳方法。这道题的“暗差”有两个：一个是5-3=2（杯），另一个是600-440=160（克）。这里两个暗差的等量关系是：2杯水的重量=160克。这样就能很容易求出一杯水的重量：160÷2=80（克）一个空瓶的重量：440-80×3=200（克）答略。*例6甲从西村到东村，每小时步行4千米。3.5小时后，乙因有急事，从西村出发骑自行车去追甲，每小时行9千米。问乙需要几小时才能追上甲？（适于高年级程度）找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网解：乙出发时，甲已经行了（4×3.5）千米，乙每行1小时便可比甲每小时多行（9-4）千米，那么（4×3.5）千米中含有几个（9-4）千米，乙追上甲就需要多少个小时。所以：答：乙需2.8小时才能追上甲。例6是典型的“追及问题”。由此可知，追及问题也可以利用两差法来解答。*例7某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产120台电风扇，实际每天比原计划多生产30台，结果提前12天完成任务。这批电风扇的生产任务是多少台？（适于高年级程度）解：在同样的时间（计划天数）里，实际比原计划多生产电风扇的台数是：（120+30）×12。因为实际每天比原计划多生产30台，因此：计划完成任务的天数是60天，那么这批电风扇的生产任务就是：120×60=7200（台）答略。*例8甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，两人同走一段路，甲比乙少用了3小时。问这段路长多少千米？（适于五年级程度）解：解答这道题应从“差异”入手。因为凡是发生差异必定有它的道理。题中的差异是“甲比乙少用了3小时”，抓住它作如下追问，即可发现解题途径。为什么会“甲比乙少用了3小时”？因为甲比乙的速度快。（1）在3个小时里甲比乙多走多少千米的路呢？在3小时里甲比乙正好多走：4×3=12（千米）（2）甲每小时可以追上乙多少千米呢？找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网5-4=1（千米）（3）走完这12千米的差数甲要走几小时呢？12÷1=12（小时）（4）这段路长多少千米？5×12=60（千米）综合算式：5×[4×3÷（5-4）]=5×[12÷1]=5×12=60（千米）答略。解：此题是“差倍”问题的变形。找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网答略。两堆煤原来各有多少吨？（适于六年级程度）解：这里已知两堆煤的总数和运走的总数，不知道两堆煤在总数中占多大比率，也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。虽然知道甲堆运知道，无法发生联系，因此这两个分率无法参加运算。本题的难点在于两堆煤运走的分率不同，若分率相同，分析就会有所进展。然后再看假设引出了什么差异。已知条件告诉我们共运走180吨，与方才算得的162吨相差180-162=18（吨），为什么会产生这18吨的差异呢？找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网270-120=150（吨）……………………甲堆答略。*例11祖父给兄弟二人同样数目的零花钱，祖母给了哥哥1100日元，给了弟弟550日元，这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为7∶5。求祖父给兄弟二人的钱数都是多少日元？（适于六年级程度）解：因为祖父给兄弟二人的钱数相同，所以祖母给兄弟二人的钱数之差，就是他们分别得到的所有零花钱钱数之差。1100-550=550（日元）由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为7∶5可知，把哥哥的钱看成是7份的话，弟弟的钱数就是5份，它们相差：7-5=2（份）所以，每一份的钱数是：550÷2=275（日元）哥哥有零花钱：275×7=1925（日元）其中祖父给的是：1925-1100=825（日元）找家教，到阳光家教网全国最大家教平台北京家教找家教上阳光家教网答：祖父给兄弟二人的钱都是825日元。*例12一位牧羊人赶着一群羊走过来，小明问他：“你的羊群里有山羊、绵羊各几只？”牧羊人说：“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数，绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍，你去算吧。”请你帮助小明算一算。（适于五年级程度）解：由“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数”知道，绵羊比山羊多99只。由“绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍”知道，绵羊的只数加上99只后，绵羊的只数比山羊多（99+99）只。此时，如果把山羊只数看作1倍，绵羊只数就是