微分方程概念及数值解介绍

例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解)(xyy设所求曲线为xdxdy2xdxy22,1yx时其中,2Cxy即,1C求得.12xy所求曲线方程为一、问题的提出微分方程的基本概念及数值求解例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,tssst米秒钟行驶设制动后4.022dtsd,20,0,0dtdsvst时14.0Ctdtdsv2122.0CtCts代入条件后知0,2021CC,202.02tts,204.0tdtdsv故),(504.020秒t列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米s开始制动到列车完全停住共需微分方程:凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程.例,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy,yxxz实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.分类1:常微分方程,偏微分方程.,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy分类2:分类3:线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy;02)(2xyyyx分类4:单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之解.,)(阶导数上有在区间设nIxy.0))(,),(),(,()(xxxxFn微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,yy例;xcey通解,0yy;cossin21xcxcy通解解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶:二阶:0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.常微分方程数值解法•欧拉（Euler）方法、向后欧拉法、梯形法及梯形法的预估校正法•龙格－库塔方法、线性多步法、预估－校正法*。问题的提出在解决科技领域的实际应用问题时，常微分方程求解是常见的。本章着重讨论一阶方程初值问题的数值解法。对高阶方程和微分方程组的数值解，其基本思想是完全一样的．解初值问题有多种解析方法，但解析法只能对一些特殊类型的方程才能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。初值问题的数值解法，就是寻求方程的解()yx在自变量x的一系列离散节点上的近似值。00(,),(),dyfxydxyxy问题的提出(续1),,,,)()(),(3212100/nnyyyyxxxxyyxyyxfy近似解：，处的在节点求：精确解初值问题问题的提出(续2)•相邻两节点间的距离称为步长，通常在计算上采用相等的步长，这时等距节点，．•初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按递推方法由已知的求出。所以，初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。1nnnhxxnhh0nxxnh0,1,2,n01,,,nyyy1ny问题的提出(续3)将微分方程两端从nx到1nx积分，得11()()(,())nnxnnxyxyxfxyxdx(0,1,2,)n这样，求原初值问题式的解，转化为求问题式的解,利用各种求积公式就可以得到一些求()nyx的近似公式。Euler方法•差商方法001001/)(),()()()(),(yxyyxhfyyyxyhxyxyyxfynnnnnnEuler方法•数值积分方法/(,())[,]()()(,())()()(,())(,())(,())nnnnxhxnxhnnxxhnnxyfxyxxxhyxhyxftytdtxxyxhyxftytdtftytdthfxyx在上积分，得当时，有Euler方法(续)•数值积分方法100()()(,())(,())(,)()nnxhnnxnnnnnnyxhyxftytdthfxyxyyhfxyyyx（看成矩形）隐式Euler方法•向后差商00111001/)(),()()()(),(yxyyxhfyyyxyhxyxyyxfynnnnnn二步Euler方法•中心差商00110011/)(),()(2)()(),(yxyyxhfyyyxyhxyxyyxfynnnnnn梯形公式1111100()()(,())[(,())(,())]2[(,)(,)]2()nnxhnnxnnnnnnnnnnyxhyxftytdthfxyxfxyxhyyfxyfxyyyx梯形公式(续)•梯形公式(见上页)，实际上是Euler方法和隐式Euler方法的算术平均。•梯形公式的精度为二阶。改进的Euler方法•改进的Euler方法为Euler方法和梯形公式的结合，也称作预估---校正法。)()],(),([2),(001111xyyyxfyxfhyyyxhfyynnnnnnnnnn改进的Euler方法(续1)•嵌套形式))],(,(),([211nnnnnnnnyxhfyxfyxfhyy1ny改进的Euler方法(续2)),()),(,(),(),()(21111121211hkyxfyxhfyxfyxfkyxfkkkhyynnnnnnnnnnnn平均化形式局部截断误差•称一种数值方法是p阶的，如果其局部截断误差为。•Euler方法和隐式Euler方法的精度是一阶的。•二步Euler方法的精度是二阶的。)(1phO龙格-库塔方法•改进的Euler方法也可写成),(),(22121211kyhxhfkyxhfkkkyynnnnnn二阶龙格-库塔方法),(),(12122122111kbyhaxhfkyxhfkkckcyynnnnnn11231213123(4)6(,)(,)22(,2)nnnnnnnnpRKRKhyyKKKKfxyhhKfxyKKfxhyhKhK类似地，对，即三个点，通过更复杂的计算，可导出三阶公式。常用的三阶公式为：三阶龙格－库塔方法四阶龙格－库塔方法1123412132434(22)6(,)(,)22(,)22(,)nnnnnnnnnnpRKRKhyyKKKKKfxyhhKfxyKhhKfxyKKfxhyhK对，即四个点，可导出四阶公式。常用的四阶公式为：1RKRK46RK52RKRKRKRK两点说明：）当p=1,2,3,4时，公式的最高阶数恰好是p,当p4时，公式的最高阶数不是p，如p=5时仍为，p=时公式的最高阶数为。）方法的导出基于Taylor展开，故要求所求问题的解具有较高的光滑度。当解充分光滑时，四阶方法确实优于改进Euler法。对一般实际问题，四阶方法一般可达到精度要求。如果解的光滑性差，则用四阶方法解的效果不如改进Euler法。两点说明