矩阵理论习题答案

1习题一1.设为的任一特征值,则因22为AA22O的特征值,故022.即=0或2.2.A～B,C～D时,分别存在可逆矩阵P和Q,使得P1AP=B,Q1CQ=D.令T=QOOP则T是可逆矩阵,且T1COOAT=QOOPCOOAQOOP11=DOOB3.设ix是对应于特征值i的特征向量,则Aix=iix,用1A左乘得iiixAx1.即iiixxA11故1i是A的特征值,i=1,2,,n.4.(1)可以.AE=)2)(1)(1(,P104003214,2111APP.(2)不可以.(3)110101010P,1221APP.5.(1)A的特征值是0,1,2.故A=－(b－a)2=0.从而b=a.又11111aaaaAI=)223(22a将=1,2代入上式求得a=0.(2)P=101010101.6.AI=)1()2(2,A有特征值2,2,－1.=2所对应的方程组(2I－A)x=0有解向量2p1=041,p2=401=－1所对应的方程组(I+A)x=0有解向量p3=101令P=(p,1p,2p3)=140004111,则P1=4416414030121.于是有A100=P122100100P1=12412244023012122431100100100100100100100.7．(1)AI=)1(2=D3(),I－A有2阶子式172111=－4－4不是D3()的因子,所以D2()=D1()=1,A的初等因子为－1,2.A的Jordan标准形为J=000100001设A的相似变换矩阵为P=(p1,p2,p3),则由AP=PJ得23211pApAppAp0解出P=241231111;(2)因为),2()1()(23D1)()(12DD，故A～J=200010011设变换矩阵为P=(321,,ppp),则333212112pApppAppApP=502513803(3)),2()1()(23AID,1)(2D1)(1D.A的不变因子是,11d,12d)2)(1(3dA～J=211因为A可对角化，可分别求出特征值－1，2所对应的三个线性无关的特征向量：当=－1时，解方程组,0)(xAI求得两个线性无关的特征向量,1011p0122p当=2时，解方程组,0)2(xAI得1123p,P=101110221(4)因41131621AI～2)1(11,故A～J=10111设变换矩阵为P=),,(321ppp,则3232211ppAppAppAp21,pp是线性方程组0xAI)(的解向量，此方程仴的一般解形为p=tsts3取40111p,1032p为求滿足方程23)(ppAI的解向量3p,再取,2pp根据tsts3113113622～tstss00033000311由此可得s=t,从而向量T3213),,(xxxp的坐标应満足方程sxxx3213取T3)0,0,1(p,最后得P=0100011318.设f()=4322458.A的最小多项式为12)(3Am,作带余除法得f()=(149542235))(Am+1037242,于是f(A)=IAA1037242=346106195026483.9.A的最小多项式为76)(2Am,设f()=372919122234,则f()=)()52(2Am+2.于是[f(A)]1=1)2(IA.由此求出[f(A)]1=321723110.(1)I－A=41131621标准形2)1(00010001,A的最小多项式为2)1(;2))1)(1(;(3)2.11.将方程组写成矩阵形式:321321188034011ddddddxxxtxtxtx,321xxxx,txtxtxtdddddddd321x,A=1880340115则有J=PAP1=100010011,.其中P=124012001.令x=Py,将原方程组改写成:,ddJyyt则3321211ddddddytyyytyyty解此方程组得:y1=C1et+C2Tet,y2=C2et,y3=C3et.于是x=Py=tttttttc)t(cc)t(cctccee24e4e12e2ee3212121.12.(1)A是实对称矩阵.AI=2)1)(10(,A有特征值10,2,2.当=10时.对应的齐次线性方程组(10I－A)x=0的系数矩阵542452228～000110102由此求出特征向量p1=(－1,－2,2)T,单位化后得e1=(32,32,31)T.当=1时,对应的齐次线性方程组(I－A)x=0的系数矩阵442442221～000000221由此求出特征向量p2=(－2,1,0)T,p3=(2,0,1)T.单位化后得e2=(0,51,52)T,e3=(535,534,532)T.令U=53503253451325325231,则U1AU=1110.(2)A是Hermit矩阵.同理可求出相似变换矩阵6U=2121212i2i2i21210,U1AU=220.13.若A是Hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵U,使得UHAU=n21,i﹥0,I=1,2,,n.于是A=Un21UH=Un21UHUn21UH令B=Un21UH则A=B2.反之,当A=B2且B是Hermit正定矩阵时,则因Hermit正定矩阵的乘积仍为Hermit正定矩阵,故A是Hermit正定的.14.(1)(2).因A是Hermit矩阵,则存在酉矩阵U,使得UHAU=diag(n,,,21)令x=Uy,其中y=ek.则x0.于是xHAx=yH(UHAU)y=k≧0(k=1,2,,n).(2)(3).A=Udiag(n,,,21)UH=Udiag(n,,,21)diag(n,,,21)UH令P=diag(n,,,21)UH,则A=PHP.(3)(1).任取x0,有7xHAx=xHPHPx=22Px≧0.习题二1.1x=01i42i1=7+2,2x=1i)4i(4)2(i)1i)(1(2=23,x=max1i42i1,,,=4.2.当x0时,有x﹥0;当x﹦0时,显然有x=0.对任意C,有x=xnkkknkkk1212.为证明三角不等式成立,先证明Minkowski不等式:设1≦p﹤∞,则对任意实数xk,yk(k=1,2,,n)有pnkpkkyx11)(≦nkppknkppkyx1111)()(证当p=1时，此不等式显然成立.下设p﹥1,则有nkpkkyx1≦nkpkkknkpkkkyxyyxx1111对上式右边的每一个加式分别使用Hölder不等式,并由(p－1)q=p,得nkpkkyx1≦qnkqpkkpnkpkqnkqpkkpnkpkyxyyxx11)1(1111)1(11)()()()(=qnkpkkpnkpkpnkpkyxyx111111)]()()[(再用qnkpkkyx11)(除上式两边,即得Minkowski不等式.现设任意y=(n,,,21)TCn,则有nkkkkyx12=nkkkk12)(≦nkkkkk12)(≦nkjknkkk1212()(=yx.3.(1)函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:max(A,B)=)(21babamax(),bayxyx≦max(bbaayxyx,)8=)(21bbaababayxyxyyxx≦)(21babababayyxxyyxx=)(21)(21babababayyyyxxxx=max(baxx,)+max(bayy,)(2)只证三角不等式.k1ayx+k2byx≦k1ax+k1ay+k2bx+k2by=(k1ax+k2bx)+(k1ay+k2by).4.218132i453i11mA;66132i453i1222222FA;15mA;1A列和范数(最大列模和)=27;A=行和范数(最大行模和)=9;5.非负性:A≠O时S1AS≠O,于是m1ASSA＞0.A=O时,显然A=0;齐次性:设C,则m1)(SASAm1ASS=A;三角不等式:m11m1)(BSSASSSBASBA≦BABSSASSm1m1;相容性:m11m1)(BSASSSSABSAB≦m1m1BSSASS=AB.6.因为In≠O,所以nI＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:nnnIII≦nInI,即nI≧1.7.设A=(Aij)Cnn,x=T21),,,(nCn,且A=ijjia,max,则ikkikAxa1≦ikkika=kiikka][≦nAkk=mA1x;ikkikAx22a≦ikkika2][=ikka22][=nA2x≦nA=mA2x.8.非负性与齐次性是显然的,我们先证三角不等式和相容性成立.A=(aij),B=(bij)Cnm,C=(cst)Cln且A=ijjia,max,B=ijjia,max,C=sttsc,max.则MBA=max{m,n}ijijjiba,max≦max{m,n})(