高考数学模拟试卷分章精编-导数及其应用3

高考数学模拟试卷分章精编《导数及其应用》（三）94.设函数21()()2ln,().fxpxxgxxx（I）若直线l与函数)(),(xgxf的图象都相切，且与函数)(xf的图象相切于点（1，0），求实数p的值；（II）若)(xf在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围；解：（Ⅰ）方法一：∵'22()pfxpxx，∴'(1)2(1)fp．设直线:2(1)(1)lypx,并设l与g(x)=x2相切于点M(00,xy)∵()2gxx∴202(1)xp∴2001,(1)xpyp代入直线l方程解得p=1或p=3.（Ⅱ）∵22'2)(xpxpxxf，①要使)(xf为单调增函数，须0)('xf在(0,)恒成立，即022pxpx在(0,)恒成立，即xxxxp12122在(0,)恒成立，又112xx，所以当1p时，)(xf在(0,)为单调增函数；②要使)(xf为单调减函数，须0)('xf在(0,)恒成立，即022pxpx在(0,)恒成立，即xxxxp12122在(0,)恒成立，又201xx，所以当0p时，)(xf在(0,)为单调减函数．综上，若)(xf在(0,)为单调函数，则p的取值范围为1p或0p．95.已知函数)1,,(23)(23ababaxxxf且为实数在区间[－1，1]上最大值为1，最小值为－2。（1）求)(xf的解析式；（2）若函数mxxfxg)()(在区间[－2，2]上为减函数，求实数m的取值范围。解：（1）,33)('2axxxf)6(.12)(.34,223)1(),1()1(,232)1(,23)1()4(,1)0()2(.1,0,0,1)(,1,,0,0)('2321分分分上为减函数在上为增函数在得令xxxfaafffafafbfxfaaxxxf（2）,12)(23mxxxxg.43)('2mxxxg由上为减函数在2,2)(xg，知.2,20)('上恒成立在xxg0)2('0)2('gg，即04020mm.20m.20mm的取值范围是实数96.设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.（１）当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;（２）当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围;（３）是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x即lnxmx记lnxx，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于min()mx.求得2ln1'()lnxxx当(1,)xe时;'()0x;当(,)xe时，'()0x故()x在x=e处取得极小值，也是最小值，即min()()xee，故me.（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。令g(x)=x-2lnx,则2'()1gxx当[1,2)x时，'()0gx,当(2,3]x时，'()0gxg(x)在[1,2]上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数。故min()(2)22ln2gxg又g(1)=1,g(3)=3-2ln3∵g(1)g(3),∴只需g(2)a≤g(3),故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)（3）存在m=12，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性2min2'()2mxmfxxxx,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。若0m，则()'0fx，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;若0m,由()'0fx可得2x2-m0，解得x2m或x-2m（舍去）故0m时，函数的单调递增区间为(2m,+∞)单调递减区间为(0,2m)而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,12)，单调递增区间是(12，+∞)故只需2m=12，解之得m=12即当m=12时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。97.已知函数32331fxaxxa(Ra且0)a,求函数)(xf的极大值与极小值.解：由题设知)2(363)(,02axaxxaxxfa令2()00,fxxxa得或当0a时，随x的变化，'fx与fx的变化如下：x,0020,a2a2,a'fx+0-0+fx极大极小301fxfa极大，22431fxfaaa极小当0a时，随x的变化，'fx与fx的变化如下：x2,a2a2,0a00,'fx-0+0-fx极小极大301fxfa极大，22431fxfaaa极小总之，当0a时，301fxfa极大，22431fxfaaa极小；当0a时，301fxfa极大，22431fxfaaa极小98.设函数.,),(2)(234RbaRxbxaxxxf其中（1）当)(,310xfa讨论函数时的单调性；（2）若函数axxf求处有极值仅有,0)(的取值范围；（3）若对于任意的]0,1[1)(],2,2[在不等式xfa上恒成立，求b的取值范围。解：（1）).434(434)(223axxxxaxxxf当).2)(12(2)4104()(,3102xxxxxxxfa时令.2,21,0,0)(321xxxxf得当)(),(,xfxfx变化时的变化情况如下表：x)0,(0)21,0(21)2,21(2),2()(xf-0+0-0+)(xf单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以),2()21,0()(和在xf上是增函数，在区间)2,21()0,(和上是减函数（2）04340),434()(22axxxaxxxxf不是方程显然的根。0)(xxf仅在处有极值。则方程04342axx有两个相等的实根或无实根，.016492a解此不等式，得,3838a这时，bf)0(是唯一极值。因此满足条件的]38,38[的取值范围是a注：若未考虑.0492a进而得到]38,38[的范围为a，扣2分。（3）由（2）知，当0434,]2,2[2axxa时恒成立。当]0,()(,0)(,0在区间时xfxfx上是减函数，因此函数).1(]0,1[)(fxf上的最大值是在又]0,1[1)(],2,2[在不等式对任意的xfa上恒成立。.13,1)1(baf即于是]2,2[2aab在上恒成立。.4,22bb即因此满足条件的).4,(的取值范围是b99.已知A、B、C是直线l上的三点，向量OA、OB、OC满足：'[2(1)]ln(1)0OAyfOBxOC（1）求函数()yfx的表达式（2）若0x，证明2()2xfxx（3）若不等式2221()232xfxmbm对[1,1]x及[1,1]b都成立，求实数m的取值范围解：（1）、'(2(1))ln(1)OAyfOBxOCA、B、C三点共线'2(1)ln(1)1yfx'ln(1)2(1)1yxf'11yx'1(1)2f()ln(1),(1)fxxx（2）、令2()ln(1)2xgxxx则2'2214()01(2)(1)(2)xgxxxxx所以()gx在(0,)上单调递增，即()(0)0gxg（3）、2221ln(1)232xxmbm令221()ln(1)2hxxx则'22()1xhxxx当10x时，'()0hx()hx在[1,0]上单调递增当01x时，'()0hx()hx在[0,1]上单调递减max()(0)0hxh原题2230mbm对[1,1]b恒成立，令2()23Fbmbm则有22(1)230(1)230FmmFmm解得3m或3m100.已知曲线()lnaxfxx在点（11(,())efe处的切线方程为20xyb（1）求a与b的值；（2）求()fx的单调区间。101.已知),(yxP为函数xyln图象上一点，O为坐标原点．记直线OP的斜率)(xfk．（Ⅰ）同学甲发现：点P从左向右运动时，)(xf不断增大，试问：他的判断是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请给出你的判断；（Ⅱ）求证：当1x时，231)(xxxf；（Ⅲ）同学乙发现：总存在正实数a、b)(ba，使abba．试问：他的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请求出a的取值范围．解：（Ⅰ）同学甲的判断不正确.依题意，xxxfln)(，∴2ln1)(xxxf.当),0(ex时，0)(xf；当),(ex时，0)(xf.所以，)(xf在),0(e上递增，在),(e上递减.（Ⅱ）xxxxxxxxxxxf1ln1ln1)(2323,记xxxxg1ln)(，∵0)1(21)12(2121211)(223232321xxxxxxxxxg，所以)(xg在),1(上为减函数，则0)1(1ln)(gxxxxg.∵1x，∴01)(23xxxf，即231)(xxxf.（Ⅲ）同学乙的判断正确.∵01lim23xxx，且当1x时，0123xx，又由（Ⅱ）知当1x时，231)(xxxf，∴当x时，0)(xf，则)(xf的图象如下图所示.∴总存在正实数a,b且bea1，使得)()(bfaf.即bbaalnln,即abba，此时ea1.102.已知函数)22()(2xaxexfx，aR且0a.(Ⅰ)若曲线)(xfy在点))1(,1(fP处的切线垂直于y轴，求实数a的值；(Ⅱ)当0a时，求函数)cos(xf的最大值和最小值.解：''22'()()(22)(22)xxfxeaxxeaxx=2(22)(22)xxeaxxeax=2()(2)xaexxa.(Ⅰ)∵曲线()yfx在点(1,(1))Pf处的切线垂直于y轴，由导数的几何意义得'(1)0f，∴2a.(Ⅱ)设|cos|xt(01)t，只需求函数()(0t1)yft的最大值和最小值.---7分令'()0fx，解得2xa或2x.∵0a，∴22a.当x变化时，'()fx与()fx的变化情况如下表：x(,2)22(2,)a2a2(,+)a1aebx0y函数()fx在(,2)和2(,+)a上单调递增；在2(2,)a上单调递减；①当21a，即02a时，函数()ft在[0,1]上为减函数.min(1)(4)yfae,max(0)2yf.②当201a，即2a时，函数()fx的极小值为[0,1]上的最小值，∴2min2()2ayfea.函数()ft在[0,1]上的最大值为(0)f与(1)f中的较大者.∵(0)2f，(