勾股定理习题集(含答案)

第1页，共19页勾股定理习题集一、选择题（本大题共13小题，共39.0分）1.下列命题中，是假命题的是(  )A.在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐵=∠𝐶−∠𝐴，则△𝐴𝐵𝐶是直角三角形B.在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎2=(𝑏+𝑐)(𝑏−𝑐)，则△𝐴𝐵𝐶是直角三角形C.在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶=3：4：5，则△𝐴𝐵𝐶是直角三角形D.在△𝐴𝐵𝐶中，若a：b：𝑐=3：4：5，则△𝐴𝐵𝐶是直角三角形2.已知△𝐴𝐵𝐶中，a、b、c分别为∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶的对边，则下列条件中：①𝑎=4，𝑏=712；𝑐=812；②𝑎2：𝑏2：𝐶2=1：3：2；③∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶=3：4：5；④∠𝐴=2∠𝐵=2∠𝐶.其中能判断△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的有(  )个．A.1B.2C.3D.43.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(  )A.2，5，7B.4，5，6C.√2，√3，√5D.32，42，524.如图，直线l上有三个正方形𝑎，𝑏，𝑐，若𝑎，𝑐的面积分别为5和11，则b的面积为(  )A.4B.6C.16D.555.一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据(  )A.13，10，10B.13，10，12C.13，12，12D.13，10，116.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为(  )A.√37B.5C.25D.77.如图，在四边形ABCD中，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐵𝐶𝐷=90∘，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若𝑆1+𝑆4=100，𝑆3=36，则𝑆2=(  )A.136B.64C.50D.818.如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=4，将矩形沿AC折叠，点D落在𝐷′处，则重叠部分△𝐴𝐹𝐶的面积是(  )A.8B.10C.20D.329.如图，第1个正方形(设边长为2)的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去.通过观察与研究，写出第2016个正方形的边长𝑎2016为(  )第2页，共19页A.𝑎2016=4(12)2015B.𝑎2016=2(√23)2015C.𝑎2016=4(12)2016D.𝑎2016=2(√22)201610.如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(  )A.8cmB.5√2𝑐𝑚C.5.5𝑐𝑚D.1cm11.△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=15，𝐴𝐶=13，高𝐴𝐷=12，则△𝐴𝐵𝐶的周长为(  )A.42B.32C.42或32D.37或3312.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐴𝐶=6，𝐵𝐶=8，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线.若𝑃，𝑄分别是AD和AC上的动点，则𝑃𝐶+𝑃𝑄的最小值是(  )A.2.4B.4C.4.8D.513.如图所示，△𝐴𝐵𝐶的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点D，则BD的长为(  )A.45√5B.23√5C.25√5D.43√3二、填空题（本大题共15小题，共45.0分）14.如图，𝐴𝐷=13，𝐵𝐷=12，∠𝐶=90∘，𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=4.则阴影部分的面积=______．15.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为______𝑐𝑚2．16.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=13，𝐵𝐶=10，𝐷是AB的中点，过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点E，则DE的长是______．第3页，共19页17.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为______𝑐𝑚2．18.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是______．19.如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，𝑂𝐴=𝑂𝐴1=𝑂𝐴2=⋯𝑂𝐴𝑛=1，则第n个直角三角形的面积为______．20.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=5，𝐵𝐶=6，点M为BC中点，𝑀𝑁⊥𝐴𝐶于点N，则MN的长是______．21.如图，点P是等边△𝐴𝐵𝐶内一点，连接𝑃𝐴，𝑃𝐵，𝑃𝐶，𝑃𝐴：PB：𝑃𝐶=3：4：5，以AC为边作△𝐴𝑃′𝐶≌△𝐴𝑃𝐵，连接𝑃𝑃′，则有以下结论：①△𝐴𝑃𝑃′是等边三角形；②△𝑃𝐶𝑃′是直角三角形；③∠𝐴𝑃𝐵=150∘；④∠𝐴𝑃𝐶=105∘.其中一定正确的是______.(把所有正确答案的序号都填在横线上)22.如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用𝑥，𝑦表示直角三角形的两直角边(𝑥𝑦)，下列四个说法：①𝑥2+𝑦2=49，②𝑥−𝑦=2，③2𝑥𝑦+4=49，④𝑥+𝑦=9.其中说法正确的结论有______．23.已知，如图长方形ABCD中，𝐴𝐵=3𝑐𝑚，𝐴𝐷=9𝑐𝑚，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△𝐴𝐵𝐸的面积为______．24.若直角三角形的两条边长为𝑎，𝑏，且满足(𝑎−3)2+|𝑏−4|=0，则该直角三角形的第三条边长为______．25.如图，矩形ABCD中，𝐴𝐵=12𝑐𝑚，𝐵𝐶=24𝑐𝑚，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积______．第4页，共19页26.如果一架25分米长的梯子，斜边在一竖直的墙上，这时梯足距离墙角7分米，若梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将向右滑______分米．27.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△𝐴𝐵𝐸绕点B顺时针旋转90∘到△𝐶𝐵𝐸′的位置.若𝐴𝐸=1，𝐵𝐸=2，𝐶𝐸=3，则∠𝐵𝐸′𝐶=______度.28.已知a是√13的整数部分，3+√3=𝑏+𝑐，其中b是整数，且0𝑐1，那么以a、b为两边的直角三角形的第三边的长度是______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）29.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=120∘，∠𝐵=30∘，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为𝐴，𝐶𝐷=1𝑐𝑚，求AB的长．30.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知𝐴𝐵=8𝑐𝑚，𝐵𝐶=10𝑐𝑚，求EC的长．四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）31.如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25𝑘𝑚，𝐶、D为两村庄，𝐷𝐴=10𝑘𝑚，𝐶𝐵=15𝑘𝑚，𝐷𝐴⊥𝐴𝐵于𝐴，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？32.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=15，𝐵𝐶=14，𝐴𝐶=13，求△𝐴𝐵𝐶的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．(1)作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于D，设𝐵𝐷=𝑥，用含x的代数式表示CD，则𝐶𝐷=______；(2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；(3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．第5页，共19页33.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角𝐶1处.(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=4，𝐶𝐶1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点𝐵1到最短路径的距离．34.在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶的对边长分别为a、b、c，设△𝐴𝐵𝐶的面积为S，周长为l．(1)填表：三边a、b、c𝑎+𝑏−𝑐𝑆𝑙3、4、525、12、1348、15、176(2)如果𝑎+𝑏−𝑐=𝑚，观察上表猜想：𝑆𝑙=______，(用含有m的代数式表示)；(3)说出(2)中结论成立的理由．35.点𝐴，𝐵的位置如图，在网格上确定点C，使𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90∘．(1)在网格内画出△𝐴𝐵𝐶；(2)直接写出△𝐴𝐵𝐶的面积为______．第6页，共19页36.如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处.已知𝐶𝐸=3𝑐𝑚，𝐴𝐵=8𝑐𝑚.求：(1)𝐴𝐷的长；(2)阴影部分的面积．37.小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即𝐵𝐵1=𝑥，则𝐵1𝐶=𝑥+0.7，𝐴1𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐴1=√2.52−0.72−0.4=2而𝐴1𝐵1=2.5，在𝑅𝑡△𝐴1𝐵1𝐶中，由𝐵1𝐶2+𝐴1𝐶2=𝐴1𝐵12得方程______，解方程得𝑥1=______，𝑥2=______，∴点B将向外移动______米.(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．38.如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．(1)怎样围成一个面积为126𝑚2的长方形场地？(2)长方形场地面积能达到130𝑚2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．第7页，共19页答案和解析【答案】1.C2.C3.C4.C5.B6.B7.B8.B9.B10.A11.C12.C13.A14.2415.12016.601317.2718.4719.√𝑛220.12521.①②③22.①②③23.6𝑐𝑚224.5或√725.90𝑐𝑚226.827.13528.√7或529.解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=120∘，∠𝐵=30∘，∴∠𝐶=180∘−120∘−30∘=30∘，∠𝐷𝐴𝐶=120∘−90∘=30∘；即∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐶，∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=1𝑐𝑚．在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵=𝐴𝐷tan30∘=√3．30.解：∵四边形ABCD为矩形，∴𝐷𝐶=𝐴𝐵=8，𝐴𝐷=𝐵𝐶=10，∠𝐵=∠𝐷=∠𝐶=90∘，∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处∴𝐴𝐹=𝐴𝐷=10，𝐷𝐸=𝐸𝐹，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐹中，𝐵𝐹=√𝐴𝐹2−𝐴𝐵2=√102−82=6，∴𝐹𝐶=𝐵𝐶−𝐵𝐹=4，设𝐸𝐶=𝑥，则𝐷𝐸=8−𝑥，𝐸𝐹=8−𝑥，在𝑅𝑡△𝐸𝐹𝐶中，∵𝐸𝐶2+𝐹𝐶2=𝐸𝐹2，∴𝑥2+42=(8−𝑥)2，解得𝑥=3，∴𝐸𝐶的长为3cm．31.解：设𝐴𝐸=𝑥，则𝐵𝐸=25−𝑥，由勾股定理得：在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，𝐷𝐸2=𝐴𝐷2+𝐴𝐸2=102+𝑥2，在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸中，𝐶𝐸2=𝐵𝐶2+�