量子力学 第二章 算符理论

第二章（一维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n维向量上会获得一个新的n维向量，这等价于一个n阶方阵「作用」在n行1列矩阵上得到新的n行1列矩阵，用数学语言可表示为TabT。总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。②微分算子：在微积分中2222,,,iixfxfdxfddxdf也可简写成fffDDf22,,,。前两种在解欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算③本征值和本征矢：在矩阵方程xAx中，把称为矩阵本征值，x称为矩阵的本征矢④本征值和本征函数：在微分方程ffDmix中，把称为问题本征值，f称为本征函数⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。考虑一个可测量Q，定义它的对应算符为Qˆ，它的本征方程是Qˆ或Qˆ，把称为算符的「本征值」，的取值集合称为算符的「谱」，称为算符的「本征态」（或本征矢），称为算符的「本征函数」（注意：有时也把记作本征值的对应本征态，如后面将遇到的坐标算符本征态x、动量算符本征态p）⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q，这过程可以抽象为对应的算符Qˆ作用于系统粒子的态矢量，测量值只能为算符Qˆ的本征值i。在这次测量后，假设得到测量值i，则意味着系统状态此时已坍缩到对应于本征值i的Qˆ的本征态i（观测的影响：测量任何力学量都必须使用仪器。在观测的过程中，探测仪器不可避免地要与被测粒子发生相互作用：例如，要观测粒子的自旋，必须外加磁场）2.厄米矩阵：根据实际要求观测量应为实数，即算子对应的矩阵的本征值为实数，我们找到这样的矩阵，在数学上称为厄米矩阵（自共轭矩阵）①厄米矩阵定义：方阵A任一元素满足*jiijaa，称方阵为厄米矩阵，记作AAH由这个定义，今后就把转置共轭称作厄米共轭②厄米矩阵性质：（1）本征值是实数（2）不同本征值对应的本征矢正交（3）本征矢量构成一组完备基（经施密特规范正交化就得到标准正交完备基）③第二公设——可观测量公设（算符公设）：每个可观测量Q都有其对应的厄米算符Qˆ，算符的所有本征矢组成一个完备基3.线性厄米算符的运算法则：①基本运算：（1）BAfBfAˆˆ,ˆˆ（2）单位算符1,ˆffI（3）gfAgAfAˆˆˆ（4）fBAfBfAˆˆˆˆ（5）CBACBAˆˆˆˆˆˆ（6）fABfABˆˆˆˆ（一般地ABBAˆˆˆˆ）②算符作用在态矢（在坐标表象下）：（1）回顾投影式：niiiee1，njjjee1，jjec*，iiec（2）算符作用在右矢/左矢的矩阵表示（这要求本征值必须是离散的！）：ijijijjijijjjiMMeeeMeM][ˆˆ****ˆ][ˆijijijjijijijjNNeeNeeN由此可得NNMMNNNHijjiijjiijij****此结论可简单表述为：同一算符作用在右矢与作用在左矢得到的结果构成厄米共轭（3）算符的矩阵形式：由上可知jiijeMeMˆ（4）厄米算符判别条件：QQQHˆˆˆbaQQba算符对函数作用时，条件改为：,ˆˆ,QQ4.位置算符：xˆ是一个极其特殊的厄米算符，它的本征函数系平方不可积但是完备①本征方程：gxggxˆ②本征值：本征值的集合就是实数集R，这种本征值取值连续的情况称为连续谱相应地，本征值取值离散的情况称为离散谱③本征函数：除了点x之外g取值都是0，考虑归一化要求有xBg2,Bgg，2,Bgg④本征函数规格化：虽然无法归一化，但可考虑用函数代替克罗内克符号ij于是有规格化处理xg，xxggxx,，简写作xxxx,5.动量算符：Dp-iˆ和xˆ相同，它的本征函数系平方不可积但是完备①从xˆ到pˆ：推导过程留在本章结尾②本征方程：fidxdfffDifp-ˆ③本征值：本征值的集合是实数集R，本征值可直接记作p④本征函数：xiAef，dxAff2,，-2,2Aff（*函数的傅里叶变换公式：dxekikx21）⑤本征函数规格化：xpipef21，ppffpp,，简写作pppp,6.对易子：一般地ABBAˆˆˆˆ，不妨定义运算ABBABAˆˆ-ˆˆˆ,ˆ，称为对易子①对易子的性质：（1）0ˆˆˆ,ˆABBA，（2）CABACBAˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆ（3）CBACABCBAˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ，BCACBACBAˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆ（4）雅可比恒等式：0ˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆBACACBCBA②位置-动量对易关系（最基本）：ipxˆ,ˆ，进一步地jkjkipxˆ,ˆ③哈密顿量-力学量算符对易关系：tQQHidtQdˆˆ,ˆˆ，VmpH2ˆˆ2特别地，如果Q不显含时且0ˆ,ˆQH，那么力学量Q是守恒量7.不确定性原理：222ˆ,ˆ21BAiBA，其中22ˆQQQ（方差定义）（1）解说：当0ˆ,ˆBA，称两算符可对易，此时存在令0BA即BAˆ,ˆ在该状态下的观测值可以同时确定当0ˆ,ˆBA，称两算符不可对易，若0A，则B即Aˆ的观测值确定时，无论如何都无法确定Bˆ的观测值（反之亦然）（2）算符相容性：0ˆ,ˆBA称两算符相容，此时它们有共同的本征态和本征函数（3）位置-动量不确定性关系：2px或写作2px能量-时间不确定性关系：2tH，其中dtQdtQ/表示Q变化Q所用时间（4）本征值还是平均值？：当0BA，易知0ˆQQ即QQˆ显然这是算符Qˆ的本征方程，是本征态，Q是平均值又是本征值，这是怎么一回事？粒子状态对测量结果有什么影响？答案见第三章8.附录1：不确定性原理的推导方差qqqQQQ222ˆ，故aaA2，bbB2根据柯西-施瓦茨不等式有2babbaa，对任意复数有2*222Imizzzz不妨设baz，考察BABABBAAbaˆˆˆˆˆˆ代入归一条件同理有ABABabbazˆˆˆˆ**，代入得222ˆ,ˆ21BAiBA（此过程来源于《量子力学导论》3.4节，格里夫斯著）附录2：从xˆ到pˆ的推导过程（波动力学观点）已知一维薛定谔方程一般形式为Vxmti2222整理为Vixmit222①，方程两边取共轭得*2*2*2Vixmit②ttt**2xxxmixxmi**2*222*22代入①②考察xxxdmidxxxxxmidxtxxdtd****222ˆdxxmidxxxmi***2-22-对后一项分部积分分部积分则有：dxxidxxixdtdmp--ˆˆ**将此式和dxxx*ˆ比较，可定义xip-ˆ，即为动量算符（此过程来源于《量子力学导论》1.5节，格里夫斯著）