线性代数基和维数

§4.5基和维数将向量组的极大无关组和秩的概念放在的子空间H上来考察.nRnR的非零子空间包含无穷多个向量，在处理有关子空间的问题时，利用该子空间的生成集会更加方便.子空间的生成集不唯一，但不是所有的生成集都同样有效.11,Tu2R12,ee12,,eeu2R12,,eeu例如，令和是的两个生成集，u对于张成是冗余的.事实上，注意到是线性相关的.例4.5.1设其中3123,,,SR1231422,5,1.36012313,,,.spanspan可知S线性相关.证明2132,注意到事实上，若则123,,,span112233kkk11213332kkk121233122,.kkkkspan证13,span反之，中的任意向量1133112331230,,.kkkkspan12,,,pS可以看出，线性相关的生成集包含了冗余信息，即如果是子空间H的线性相关生成集，则至少有一个向量可以写成其余p-1个向量的线性组合，从而可以从S中去除，得到一个较小的生成集.12,,,rB另一方面，如果是H的线性无关生成集，则B中任一向量都不能由其余r-1个向量线性表出，因此从B中去除一个向量后得到的B的子集一定不是H的生成集（去除的向量不能由剩余向量线性表出）.在这个意义下，线性无关生成集是子空间的最小生成集，是描述子空间结构的更有效的方式.例4.5.2可逆n阶方阵的n个列向量构成的基.nR12,,...,,nAnR12,,...,,n12,,...,n12,,...,nnR证明：设可逆方阵其列向量组线性无关.对中的任意向量,由性质4.2.5,线性相关.由例4.2.7知，可由线性表出，因此是的基.nR定义4.5.1的非零子空间H的线性无关生成集称为H的基（basis）.12,,...,neeenR特殊地，n阶单位阵的列向量组称为的标准基.p证明：(1)不妨设是的线性组合：11,,p1111.pppcc1111,ppppkkkH中的任意向量可以表为0,H(2)如果则必有S的某个子集是H的基.定理4.5.1设1,,,npSR1,,.pHspankk(1)如果S中的某个向量是S中其余向量的线性组合，则从S中去掉后剩余向量构成的集合仍然是H的生成集.11,,p11,,p代入上式，容易验证是的线性组合.因此是H的生成集.（2）如果初始集合S线性无关，则S是H的基.否则，S中某个向量可表成其余向量的线性组合，由（1），可以从S中删除该向量后得到H的更小的生成集.只要生成集包含至少两个向量，则这个过程可以持续到生成集线性无关为止，从而得到H的一组基.0H如果生成集最终只包含一个向量，则由可知该向量为非零向量，线性无关，因而是H的基.nR定理说明，基可以通过从生成集中去除冗余向量构造出来,且的非零子空间一定存在基.下面考虑A的零空间和列空间的基.一般解的参数向量形式为：3611712231,24584A例4.5.3求NulA的一组基.解：利用初等行变换可化A为行最简形：120130012200000A1245345230220.00xxxxxxx取为自由变量，则解为：245,,xxx124534523,22.xxxxxxx245.xxx以上例子说明将Ax=0的解写成参数形式的过程同时可以确定NulA的一组基.12452234524544552321310022022010001xxxxxxxxxxxxxxxx,,.NulAspan上式说明,,同时，的构造方式保证其线性无关性.,,因此，是NulA的基.10350012100000100000B例4.5.4求行最简形矩阵的列空间的基.34,即是主元列的线性组合.任取ColB中向量,31241232,5,1122334455kkkkk112231241255325kkkkk12345,,,,,B解：令有125,,125,,125,,是的线性组合.因此是ColB的生成集.同时，是4阶单位阵的不同列，线性无关.因此B的主元列构成B的列空间的一组基.对于矩阵A，A的列之间的线性关系可以表成Ax=0，其中x为相应的组合系数构成的列向量.（如果A的某列在某个关系式中不出现，则相应的系数为零.）定理4.5.2矩阵的初等行变换不改变矩阵的列之间的线性关系.A经初等行变换化为B后，B的列一般与A的列完全不同，但Ax=0和Bx=0两个方程组同解，这意味着，A的列与B的相应列之间有完全相同的线性关系.因而有以下结果：例4.5.5123451332922282,,,,,23071341118A解：验证可知，对A进行初等行变换后得到的行最简形矩阵是上例中的B，因此A的主元列是由定理4.5.2和上例的结果，有125,,.31241232,5.求ColA的基.125,,类似于上例，可证是ColA的生成集.125,,125,,125,,同时，由的线性无关性和定理4.5.2，知线性无关.因此是ColA的基.定理4.5.3A的主元列构成ColA的一组基.证明：证明方法类似于上例中的讨论.注意：是A自身的主元列，而不是行阶梯形矩阵B的主元列，构成了ColA的基.令B是A的行最简形矩阵.B的主元列线性无关，而A行等价于B，由定理4.5.2可知，A的主元列线性无关.这样，A的主元列构成了ColA的基.B的非主元列可表成B的主元列的线性组合，则A的非主元列也可表成A的主元列的线性组合，因而可以从ColA的生成集中删除.定理4.5.4令H是的子空间，是H的生成集.若mp，则H中任意m个向量必线性相关.12,,,pSnR子空间的基是不唯一的.下面，我们讨论基中所含向量的个数.定理4.5.5若子空间H有一组基包含p个向量，则H的任一组基都恰含有p个向量..prS是H的生成集，由定理4.5.5，H中任意多于r个向量必线性相关，而B是H的线性无关子集，所以.rp.rp同理因此有12,,,pB12,,,rS证明：令是H的包含p个向量的一组基,是H的任一组基.定理4.5.5说明子空间H的每一组基含有相同个数的向量，因此有以下定义.nR空间的维数是n.nR定义4.5.2的非零子空间H的维数dimH定义为H的任一组基中所含向量的个数.零空间｛0｝的维数规定为0.注意：向量空间的维数与向量的维数的区别例4.5.6的子空间可以按照维数进行分类：0维子空间：1维子空间：由一个非零向量生成，几何上是过原点的直线;2维子空间：由两个线性无关向量生成，几何上是过原点的平面;3维子空间：03R3.R例4.5.7NulA的维数是方程组Ax=0中自由变量的个数.ColA的维数是A的主元列的数目.定理4.5.6若H是的子空间，则（1）H中任意p个线性无关的向量构成H的一组基;（2）如果H中p个向量构成H的生成集，则这p个向量也构成H的一组基.dim.HpnR子空间H的基相对于生成集的另一个优点是：H中的每个向量仅能用一种方式写成基向量的线性组合，即表出是唯一的.证明：因为是H的生成集，H中任一向量必可表为的线性组合.12,,...,p12,,...,p12,,...,p12,,...,p定理4.5.8若是子空间H的基，则H中的任一向量能且仅能用一种方式表为的线性组合.如果能用两种方式表成的线性组合，即12,,...,p1122...,ppkkk1122....pplll两式相减，有1112220()()...().pppklklkl由的线性无关性，12,,...,p11220,ppcdcdcd所以的两种表出方式一致，即表出方式唯一.定义4.5.3设是子空间H的基.H中的向量x若可表成称系数为x相对于基B的坐标.记为基向量组可以建立一个H中的坐标系统.12,,...,p1122...,ppxccc12,,...,pccc12,,,.Tpccc1211,022R例4.5.812111(2)3(2)3.026x是的一组基，2xR2,3的坐标为则12,,,neee例4.5.9nR中的向量x在单位向量组构成的标准基下的坐标即为x.121101616.601ee1,7,3T12,0,1,T21,3,2,T32,1,1T3R例4.5.10在中，求向量在基下的坐标.解：123,,123,,Txxx设在基下的坐标为，则112323,xxx12321210317.1213xxx或对增广矩阵作初等行变换212112131213031703170317,121305470012A1231,3,2,xxx其解为12313.2xxx所求坐标为11112121212122221122,nnnnnnnnnnaaaaaaaaa12,,,n定义4.5.412,,,n设(I)与(II)是n维向量空间的两组基，则基(II)可由基(I)线性表出，即nR子空间的基不唯一，且同一向量在不同基下的坐标是不同的.下面研究随着基的改变，向量坐标的变化规律.1112121222121212,,,,,,.nnnnnnnnaaaaaaaaa或12,,,n12,,,n则称是由基到基的过渡矩阵，其中A的第列是在基(I)下的坐标.1,2,,jjnjijnnAa12,,,n定理4.5.912,,,n设(I)与(II)是n维向量空间的两组基，且nR1212,,,,,,.nnAnR若在基(I)和基(II)下的坐标分别为X,Y，则（1）过渡矩阵是可逆矩阵，且11212,,,,,,.nnA1(2),.XAYYAX1212,,,,,,,nnB证：基（I）可由基（II）线性表出，设为由条件，有121212,,,,,,,,,,nnnABAB121212,,,,,,,,,,nnnXYAY1212,,,,,,nnE由坐标的唯一性，故AB=E，于是A可逆，且1.BA而1.YAX,XAY由坐标的唯一性，有进而1213(),;