线性代数复习

1写在前面的话：复习资料主要取材于书本，书是最有效的复习资料。此卷中知识点大多是对书本的浓缩和总结，同时适当补充少量内容，因此，看复习资料时，请紧密联系书本。第一讲行列式每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作A.行列式的的核心问题是值的计算.n阶行列式ija=.)1(21212121)(nnnnjjjjjjjjjaaa1.njjj21表示对所有n元排列求和.2.规定),(21njjj为全排列njjj21,的逆序数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:002323215634,(436512)=3+2+3+2+0+0=10二.化零降阶法1.余子式和代数余子式的概念（课本15页）；2.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.754102643=(-3)A11+4A12+6A13=(-3)M11-4M12+6m3=(-3)(-5)-4(-18)+6(-10)=27.3．用初等变换把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式如27718497518100549754102643三.其它性质行列式还有以下性质2性质1行列式转置后，其值不变，即DDT。（请试做证明）性质２交换行列式的两行（列），行列式的值变号性质3行列式的某一行（列）元素有公因子，可以提到行列式的外面推论以下三种行列式的值为零。（1）行列式有某一行（列）的元素全为零。（2）行列式有两行（列）完全相同。（3）行列式有两行（列）的元素成比例性质4一个行列式可以拆分成两个行列式的和，这两个行列式的某对应行（列）上相同位置的元素之和，正好等于原行列式的对应位置的元素，而其它行（列）的元素都与原行列式相同。性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。四.克莱姆法则克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数n(即系数矩阵A为n阶矩阵)时.0A方程组有唯一解（三阶内实用）。五．计算行列式值时，初等变换的一些小技巧：技巧1，纯用行变换，使得行列式成上三角或下三角矩阵技巧2，利用性质２，交换部分行列，能够使值变简单技巧3，当遇到对称矩阵时，有一种办法较实用：首先，把第2，3，…，n列的数的值加到第一列来，这样第一列各数相等。然后将第一行乘以-1加到其余各行，使各行首位都为0.这样简单许多。（P11例3）技巧4，不断使用性质5，化简行列式（习题1-2的第一大题（7））技巧5，特殊矩阵的方法（习题1-2的第一大题（8））注:试做习题1-2中的第一大题（5），其中用到了技巧2和4，请详细体会。代数余子式和通过初等变换算行列式是本章的核心，宜多练手，体会初等变换的方法。第二讲矩阵一．矩阵的运算1.矩阵的加法：nmijnmij)(b,B)(aA，nmijijnmijnmijbabaBA)()()(2.数与矩阵的乘法:数乘矩阵是用数乘矩阵的每一个元素注意，区分数乘行列式和数乘矩阵的区别。数乘矩阵的定义，容易得到如下性质：（1）分配律：kBkABAk)(，hAkAAhk)(.3（2）结合律：AkhhAk)()(.（其中，BA,都是nm矩阵，hk,为任意常数）3.矩阵与矩阵的乘法:设矩阵,)(,)(ijnssmijbBaA则定义矩阵A与B的乘积是一个nm矩阵nmijcC)(，记为ABC.其中sjisjijiijbababac2211Skkjikba1例题(P25例1)注意左乘与右乘的区别，两者一般不相等。如A=(X1,X2,X3,…,Xn),B=(Y1,Y2,Y3,…,Yn)T,请写出AB与BA的表达式。注：了解下列矩阵的意义：伴随矩阵，标准矩阵，对角矩阵，数量矩阵，转置矩阵，对称矩阵，反对称矩阵，分块矩阵，相似矩阵，正交矩阵……二．矩阵的三变换：(1)互换第i行与第j行(记作jirr);(2)以数0k乘以第i行(记作ikr);(3)将第j行各元素乘以数后k加到第i行的对应元素上去(记作jkrri三．关于矩阵的一些计算矩阵的核心问题：（1）求秩（2）求逆矩阵和解矩阵方程（3）矩阵的代数运算1求矩阵的秩如果对矩阵A经过若干次初等变换化为B，则称矩阵A和B是等价的，记为BA~如果A与B等价，则r(A)=r(B);.求一个矩阵的秩，只需将其化为阶梯形即可求下列矩阵的秩:例题(1)741152321A;(2)513521431102203121121B.解:(1)将矩阵A用初等行变换化为阶梯形741152321A1020510321000510321,A的阶梯形有两行不是零行,所以2)(Ar.2．求逆矩阵和解矩阵方程a.逆矩阵的定义：设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使4AB=BA=nI，则称方阵A可逆.而B为A的逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，用符号1A表示A的逆矩阵b.逆矩阵的性质若A，B均为n阶可逆方阵，k是一个数，则TAABAA,,)(,11都可逆，且(1)AA11)((2)111)(AA(3)111)(ABBA(4)TTAA)()(11注：（2），（3）自己推导c.矩阵nnijaA)(，ijA是其元素ija的代数余子式nji,,2,1,.矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*称为矩阵A的伴随矩阵d.利用伴随矩阵求逆矩阵利用以上公式，求出伴随矩阵，直接代入公式：*1||1AAA注：试求伴随矩阵的行列式的值（结果等于|A|的n-1次方）e.利用初等行变换求逆矩阵简单地说就是：)AI()IA(1初等行变换补充：利用矩阵的代数运算的一点题目：1..习题2-3的第五大题（1）这一章的内容主要是介绍矩阵的运算法则，矩阵的秩，逆，求逆请多在习题2-3上下功夫。第三讲线性方程组线性方程组的一般形式为：mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1）5方程组(1)可以用矩阵表示为BAX.其中mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称为方程(1)的系数矩阵，mbbbB21称为(1)的常数项矩阵，mmnmmnnbbbaaaaaaaaaA21212222111211称为增广矩阵，nxxxX21称为n元未知量矩阵.当),,2,1(mibi全为0时，方程组称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。方程组的主要问题是求解，下面总结方程组的求解方法二．方程组的解法非齐次方程组求特解解题方略：1．克莱姆法则2．AX=B，得X=A的逆乘以B（注：用上述两方法解p91中例1，与答案进行对比，顺便复习以下以前的内容）3.高斯消元法本质就是矩阵的初等行变换；先判断方程组有没有有解:线性方程组有解的充要条件是：方程组BAX的系数矩阵A的秩与增广矩阵A的秩相等，即,rArAr且(1)当nr（未知数的个数）时，方程组有唯一一组解；(2)当nr时，方程组有无穷多组解.只是自由未知量的个数为rn个.实际上，高斯消元法就是通过矩阵行变换，化简成与原方程组有相同解的方程组，之后再去解。例题见书p91例2，请详细琢磨该例中的过程，并与方略进行对比。三．线性方程组的通解无论是齐次还是非齐次，线性方程组的通解可以类比成我们之前学过的常微分方程的通解。齐次方程组求通解解题方略：1，系数矩阵化简2，写出同解方程组3，看看同解方程组中有几个方程，几个未知量，如果方程比未知量多，则方程组无解；若相等，则仅有一解（即X的值全0）；若未知量多，则用未知量的个数减去方程的个数，这也是基础解系的个数。如3个方程，4个未知量，给其中一个变量赋值，如x1=1之类，解6出其余的x值，此即方程组的一个基础解系。4，赋其他值，写出其他基础解系，最后得通解c11+c22+…+css例题见书p96例2，与解题方略进行对比，同时，把习题4-1中第一大题（2）作为练手。非齐次方程组AX=的通解通解即为齐次方程的通解加上非齐次方程的特解。0+c11+c22+…+css（还是常微分啊）例题见书p103的例2，同时把习题4-3中第二大题作为练手。练习：试问:ba,取何值时,线性方程组bxxxaxxxxxx63120221321321无解,有唯一解,有无穷多组解?并且有解时，求出解。解对方程组的增广矩阵实施初等行变换化为阶梯形baA6311120211ba420141002112420014100211baa(1)当042a且02b,即2a且2b时,)()(ArAr,方程组无解;(2)当042a,即2a时,nArAr3)()(,方程组有唯一解;(3)当042a且02b,即2a且2b时,nArAr32)()(,方程组有无穷多组解.说明：对于齐次线性方程组0AX，恒有,rArAr则它一定有解，且（1）nr时，有惟一解---零解；（2）nr时，有无穷多组解.一般求解齐次线性方程组时，只需对其系数矩阵实施变换.另外，4-3中第三大题，里面的第二大问的一个简便解法就是用第一个方程组中的特解代入到未知的方程中，务必请自己练手。本章的内容主要有以下几个方面：判断线性方程组是否有解，求齐次方程组和非齐次方程组的解，请熟练掌握。7第四章向量空间一．向量的基本概念n维向量的定义和表示：α=（a1，a2，…，an）了解什么叫行向量，列向量，两向量相等。向量的四则运算（须熟练掌握，在此不赘述）了解什么叫向量空间，什么叫子空间，并通过习题3-1中第7大题加深对子空间的了解第五章线性变换，特征值和特征向量在这一章中，V总表示数域K上的n维线性空间。本章主要内容和目的是：线性空间V的基不唯一，V上的线性变换也不唯一。对某一个确定的线性变换来说，是否存在V的一组基，使关于这组基的矩阵具有最简单的形式——对角形式？如果有，要满足什么条件？这组基又怎么找？这就是线性变换的对角化问题。固定V的一组基，则V的线性变换与数域K上的阶方阵之间一一对应，而V中的向量与向量在这组基下的坐标一一对应。因此线性变换的一切概念与结论方阵都有，只需把线性变换改为方阵，V中的向量改为向量的坐标，即n×1矩阵。一．基本概念及基本结论1．设是线性空间V到V的映射，若满足：（1）；（2）则称是V上的线性变换。线性空间V上的所有线性变换的集合记为。2．设矩阵，如果存在可逆矩阵，使，就称矩阵相似于。记为~。3．若存在非零向量设，数，使得，则称是的一个特征值（特征根），的属于特征值的特征向量。8一个线性变换的特征值可以不唯一，属于同一特征值的特征向量有无穷多个，4．是的一个特征值，则集合为V的线性子空间，称为的属于特征值特征的特征子空间。5．同样可定义方阵的特征值、特征向量和特征子空间。（1）设，是一个变量，行列式是一个关于的次多项式，称该多项式为矩阵的特征多项式，记为。（2）设，如果存在V的一组基，使关于这组基的矩阵是对角阵，称是可以对角化的线性变换；若，若存在可逆矩阵为一个对角阵，则称矩阵可以对角化。由定义可知，线性变换可以对角化存在V的一组基，使，（是的特征值，是的属于特征值的特征向量（有n个由特征向量组成的基。由以上结论可