线性代数复习提纲

线性代数复习提纲第一章行列式本章重点是行列式的计算，对于n阶行列式的定义只需了解其大概的意思。要注重学会利用行列式的各条性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算，对于计算行列式的技巧毋需作过多的探索。1、行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等，即TDD。（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。（3）行列式中如有两行（列）相同或成比例，则此行列式为零。（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；换句话说，若行列式的某一行（列）的各元素有公因子k，则k可提到行列式记号之外。（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数k，然后加到另一行（列）上，行列式的值不变。（6）若行列式的某一行（列）的各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。2、行列式的按行（按列）展开（1）代数余子式：把n阶行列式中,ij元ija所在的第i行和第j列划掉后所剩的1n阶行列式称为,ij元ija的余子式，记作ijM；记1ijijijAM，则称ijA为,ij元ija的代数余子式。（2）按行（列）展开定理：n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和，即可按第i行展开：1122...,(1,2,...,)iiiiininDaAaAaAin也可按第j列展开：1122...,(1,2,...,)jjjjnjnjDaAaAaAjn（3）行列式中任意一行（列）的各元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即1122...0,()ijijinjnaAaAaAij；或1122...,()ijijninjaAaAaAij。3、克拉默法则：,(1,2,...,)iiDxinD，其中iD是把D中第i列元素用方程右端项替代后所得到的行列式。4、常用的行列式上（下）三角形行列式等于其主对角线上的元素的乘积；特别，（主）对角行列式等于其对角线上各元素的乘积。学会利用行列式各性质将行列式化为三角形，以方便计算。第二章矩阵及其运算了解矩阵的加法、数乘、矩阵与矩阵相乘、矩阵的转置和方阵的行列式等概念。本章重点是要熟练掌握矩阵的线性运算（加法与数乘）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式及其运算规律；掌握可逆矩阵的概念以及矩阵可逆的充要条件；理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。1、矩阵的运算（1）矩阵加法满足,,mnABCM（a)ABBA（b)()()ABCABC（2）数乘矩阵满足,,,mnRABM（a)AA（b)AAA（c)ABAB（3）矩阵与矩阵相乘满足（前面矩阵的列数=后面矩阵的行数）（a)ABCABC（b)ABCABAC（c)ABABAB注意：（a)一般情况下，ABBA；若ABBA，则称,AB是可交换的。（b)即便0AB，,AB可以都不是零矩阵。（4）矩阵的转置满足（a)TTAA（b)TTTABAB（c)TTAA（d)TTTABBA（e)000TTAAAAA（5）方阵的幂kA（k为正整数，nAM）（a);lklklkklAAAAA（,kl均为正整数）。（b)若方阵,AB是不可交换的，则2222;kkkABAABBABAB。（6）方阵的行列式（,AB均为方阵）满足（a)TAA。（b)nAA（c)ABAB2、逆矩阵（1）定义：设nAM，若有nBM，使得ABBAE（单位阵），则称矩阵A是可逆的，B是A的逆阵，记作1BA。（2）方阵A可逆0A有B，使ABE有B，使BAE。（3）逆阵的性质（a)若A可逆，则1A也可逆，且11AA（b)若A可逆，则TA也可逆，且11TTAA（c)若A可逆，0k，则kA也可逆，且111kAAk（d)若,AB均可逆，则,AB也可逆，且111ABBA（4）伴随矩阵：设nAM，A的伴随阵*A定义为*TijAA，（其中ijA是A中,ij元的代数余子式。伴随阵的性质：（a)**AAAAAE（b)若0A，则1**11,AAAAAA（c)若0A，则*11*1AAAA（d)1*nAA（e)**TTAA3、克拉默法则的矩阵表示若0A，则方程组Axb有唯一解1*1xAbAbA。第三章矩阵的初等变换与线性方程组本章重点是要熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形的方法，并熟练掌握用矩阵初等行变换求解线性方程组的方法。理解矩阵的秩的概念，并掌握用矩阵初等变换求矩阵的秩的方法。理解非齐次线性方程组无解、有唯一解或无穷多解的充要条件和齐次线性方程组有非零解的充要条件。1、定义初等行变换：;;ijiijrrrkrkr；初等列变换：;;ijiijccckckc；初等变换：AB，即A与B等价，秩相等。2、矩阵的秩（1）矩阵A的最高阶非零子式的阶数r，称为矩阵A的秩，记作RAr。（2）RArA的最简形含r个非零行A的标准形000rmnEF。（3）矩阵的秩的性质：（a)0min,mnRAmn。（b)TRARA。（c)ABRARB。（d)若,PQ可逆，则RPAQRA。3、线性方程组理论（1）n元非齐次线性方程组Axb有解的充要条件是,RARAb，当,RARAbn时有唯一解；当,RARAbn时有无穷多解；无解的充要条件是,RARAb。（2）n元齐次线性方程组0Ax有非零解的充要条件是RAn；只有零解的充要条件是RAn。（3）矩阵方程AXB有解的充要条件是,RARAB。第四章向量组的线性相关性在本章学习中，，要特别注意方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间的转换，，突出的典型问题是对1212,,...,,,...,,()lmmlbbbaaaKBAK所作的解释：矩阵语言：B是A与K的乘积矩阵；方程语言：K是矩阵方程AXB的一个解；几何语言：向量组B能由向量组A线性表示，K是这一表示的系数矩阵。理解向量组线性组合以及一个向量（或向量组）能由一个向量组线性表示的概念，特别地，要熟悉这些概念和线性方程组的联系。理解向量组线性相关和线性无关的概念，并熟悉它们与齐次线性方程组的联系。理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念，会用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组和秩。本章的另一个重点是理解齐次线性方程组的基础解系的概念，并能熟练地求出基础解系，理解齐次与非齐次线性方程组通解的构造。1、n维向量、向量组n个有次序的数12,,,naaa构成的有序数组称为n维向量，记作1212,,,...,Tnnaaaaaaaaa与Ta分别称为列向量和行向量，也就是列矩阵和行矩阵。若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组。含有有限个向量的向量组可以构成一个矩阵。2、线性组合与线性表示（1）向量b能由向量组12:,,...,mAaaa线性表示方程组1122...mmxaxaxabAxb有解1212,,...,,,...,,mmRaaaRaaab（定理1）（2）向量组12:,,...,lBbbb能由向量组12:,,...,mAaaa线性表示矩阵方程1212,,...,,,...,mlaaaXbbbAXB有解,RARAB（定理2）（3）向量组A与向量组B等价（能相互线性表示）,RARBRAB（4）若向量组B能由向量组A线性表示，则RBRA。（定理3）3、线性相关与线性无关向量组12:,,...,mAaaa线性相关齐次线性方程组1122...00mmxaxaxaAx有非零解12,,...,mRaaam（定理4）向量组12,,...,2maaam线性相关的充要条件是存在某个向量1jajm，它能由其它1m个向量线性表示。4、向量组线性相关性的重要结论（1）向量组12,,...,saaa线性相关，则向量组121,,...,,,...,ssmaaaaa也线性相关。（定理5-1）（2）m个n维向量组成的向量组，当mn，即个数大于维数时一定线性相关。（定理5-2）（3）设向量组12:,,...,mAaaa线性无关，而向量组12,,...,,maaab线性相关，，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的。（定理5-3）5、向量组的最大无关组与向量组的秩（1）定义：如果在向量组中能选出r个向量12,,...,raaa，满足（a)向量组012:,,...,rAaaa线性无关；（b)向量组A中任意1r个向量都线性相关，那么称向量组0A是向量组A的一个最大无关组；最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作AR。只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。（c)上述条件（b）可改为：向量组A中任一向量都能由向量组0A线性表示。（2）只含有限个向量的向量组12:,,...,mAaaa构成矩阵12,,...,mAaaa，矩阵A的秩等于向量组A的秩，即12,,...,mARARaaaR。（定理6）6、齐次线性方程组0Ax的基础解系与通解设n元齐次线性方程组0mnAx的解集为S，则SRnr；解集S的一个最大无关组称为齐次线性方程组的基础解系，其中含SRnr个解向量。设12,,...,nr为齐次线性方程组的基础解系，则其通解为112212...,,...nrnrnrxccccccR7、非齐次线性方程组Axb的通解设非齐次线性方程组Axb的一个解为*，对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系为12,,...,nr，则非齐次方程组的通解为*1122...nrnrxccc。8、向量空间（1）设V是n维向量的集合，如果V非空，且对向量的线性运算封闭，那么V就称为向量空间。向量空间V的最大无关组称为V的基，向量空间V的秩VR称为V的维，若VRr，则称V为r维向量空间。设r维向量空间的一个基为12,,...,rjjj，则任一向量vV，总有唯一的一组有序数12,,...,r，使1122...rrvjjj，有序数组12,,...,r就称为向量v在基12,,...,rjjj下的坐标。（2）给定n维向量组12:,,...,mAaaa，集合12112212,,...,...,,...,mmmmLaaaxkakakakkkR是一个向量空间，称为由向量组A所生成的向量空间。向量组A与向量组B等价，则由它们所生成的向量空间相等。第五章相似矩阵及二次型本章的重点特征值与特征向量的计算与矩阵的对角化，特别是对称矩阵的对角化。而求得正交矩阵P，使112,,...,TnPAPPAPdiag，既是相似，又是合同。学好本章的关键是掌握对称矩阵正交相似对角化的原理和步骤，其它概念如向量的内积、正交、施密特正交化方法、正交矩阵、特征值和特征向量等都围绕正交相似对角化这一中心议题。要熟练地掌握特征值和特征向量的求法以及它们和正交矩阵的关系。1、向量的内积、长度及正交性（1）设有n维向量1122,::nnxyxyxyxy则1122,...Tnnxyxyxyxyxy被称为向量x与y的内积。（2）非负实数22212,...nxxxxxx被称为向量x的长度（或范数）。当1x时，称x为单位向量。00xx。（3）当,0Txyxy时，称向量x与y正交。零向量与任何向量都正交