线性代数考试复习提纲、知识点、例题

线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122...iiiiininDaAaAaA1,2,...,in1122...iiiininiDaAaAaA1,2,...,in例1、计算行列式2240413531232051二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：AXBXABAXBC若系数矩阵可逆，则1XAB1XBA11XACB切记不能写成11XABC或CXAB求逆矩阵的方法：1、待定系数法()ABEBAE或2、伴随矩阵法11AAA其中A叫做A的伴随矩阵，它是A的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。112111222212.....................nnnnnnAAAAAAAAAA3、初等变换法1AEEA初等行变换例2、解矩阵方程315614165278910X例3、解矩阵方程XAXB，其中010111101A112053B三、解齐次或非齐次线性方程组设ijmnAa，n元齐次线性方程组0AX有非零解()rAnn元齐次线性方程组0AX只有零解()rAn。当mn时，n元齐次线性方程组0AX只有零解0A。当mn时，n元齐次线性方程组0AX有非零解0A。当mn时，齐次线性方程组一定有非零解。定义：设齐次线性方程组0AX的解1,...,t满足：（1）1,...,t线性无关，（2）0AX的每一个解都可以由1,...,t线性表示。则1,...,t叫做0AX的基础解系。定理1、设mnA，齐次线性方程组0AX，若()rArn，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于nr。齐次线性方程组的通解11...nrnrxkk1,...,nrkkR设ijmnAa，n元非齐次线性方程组AXB有解()()rArA。唯一解()()rArAn。无数解()()rArAn。无解()()rArA。非齐次线性方程组的通解11...nrnrxkk，1,...,nrkkR例4、求齐次线性方程组12341234123420202220xxxxxxxxxxxx的通解例5、求非齐次线性方程组1234123412343133445980xxxxxxxxxxxx的通解。四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例6、当为何值时，齐次线性方程组0020xyzxyzxyz有非零解，并求解。例7、已知线性方程组12312321232222xxxxxxxxx，问当为何值时，它有唯一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。五、向量组的线性相关性12,,...,s线性相关12,,...,(2)ss中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。存在不全为0的数12,,...,skkk使得1122..0sskkk。1212,,...,0...sskkk列有非零解1212,,...,0...sskkk行有非零解12///12,,...,0...sskkk有非零解12,,...,srs///12,,...,srs12,,...,s线性无关12,,...,(2)ss中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。若1122..0sskkk，则12...0skkk。1212,,...,0...sskkk列只有零解1212,,...,0...sskkk行只有零解12,,...,srs12///12,,...,0...sskkk///12,,...,srs特殊的，n个n维向量12,,...,n线性相关12,,...,0n或120...n。n个n维向量12,,...,n线性无关12,,...,0n或120...n。例8、已知向量组1,2,1t，22,,0t，31,1,1，讨论t使该向量组（1）线性相关（2）线性无关六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示设向量组12:,,...,sA，若从A中选出r个向量构成向量组120:,,...,riiiA满足：（1）0A线性无关（2）A中的每一个向量都能由0A线性表示，条件（2）换一句话说A的任意1r个向量（若有的话）都线性相关，或者说从A中向0A任意添加一个向量（若有的话），所得的向量组都线性相关。则0A叫做A的极大线性无关向量组，简称极大无关组。向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩，记作12,,...,srr求向量组的秩的方法：（1）扩充法（2）子式法12...mmn12,,...,mnm最高阶非0子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组。（3）初等变换法同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。例9、设向量组1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(2,1,2,3)求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大线性无关组线性表示。七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题1PAPB相似矩阵的性质:1、相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式，迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。2、相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。3、相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。4、若A与B相似，则kA与kB相似，kN，则()A与()B相似。11111()...kkkBPAPPAPPAPPAPPAPnA与12n相似nA有n个线性无关的特征向量12,,...,nppp，且以它们为列向量组的矩阵P使1PAP，12,,...,n分别为与12,,...,nppp对应的nA的特征值。若nA有n个互不相等的特征值12,,...,n，则nA一定与12n相似。nA与相似对应于nA的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。()nrEAk其中k为的重数例10、设矩阵12422421Ax与50000004By相似（1）求x与y；（2）求可逆矩阵P，使1PAPB。例11、设00111100aA，问a为何值时，矩阵A能相似对角化。例12、设三阶矩阵A的特征值为11，22，33，对应的特征向量依次为/11,1,1，/21,2,4，/31,3,9，求矩阵A。例13、设三阶实对称矩阵A的特征向值1,1,1，与特征值1对应的特征向量为11,1,1，求A。八、化二次型为标准型，并求所用线性变换的矩阵例14、化二次型222123123121323(,,)564610fxxxxxxxxxxxx为标准型，并求所用可逆线性变换的矩阵。例15、化二次型123121323(,,)226fxxxxxxxxx为标准形，并求所用可逆线性变换的矩阵。