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4美术馆悬挂着一副高h的画,画的下边比一个观众的眼睛高d,这个观众站在距离墙多远的距离才是最佳视角?假设:人与墙的距离为xxdtanxhd)tan())tan((tantan)tan(1tan)tan(xhdxdxh1xhddxh)(∵abba2当ba时abba2∴)(2tanhddhhdx8.细菌生长繁殖速度之快、以及数量之大是难以琢磨的.而有些细菌是有益的、更多的是疾病之源.下面记录了某种细菌的繁殖数据,研究:(1)开始时细菌的个数是多少?(2)如果细菌以过去的速度继续增长,一个月后细菌的个数是多少?细菌繁殖过程记录数据表1-2天数35781012细菌的个数6709371315155921873087假设:(1),一个月是30天,天数为x,开始时细菌的个数为k。(2),细菌的生长环境(包括温度,湿度,空气含量等)保持不变;细菌在生长过程中没有大量死亡的特殊情况;xeky*(1)由上表公式得出开始时细菌的个数约是401个带入公式(1)算出一个月后细菌的个数:30*0.1969456e*82401.573190y得出一个月后细菌的个数约是65266个。2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象.(1)分析商品的价格C与商品重量W的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定,这些成本中有的与重量W成正比,有的与表面积成正比,还有与W无关的因素。(2)给出单位重量价格C与W的关系。画出它的简图,说明W越大C越小,但是随着W的增加C减小的程度变小。解释实际意义是什么。(1)假设:商品几何相似相对长度为L,质量为W,体积为V,表面积为S。因为:生产成本与重量W成正比,与体积V成正比,与长度3L成正比。包装成本与表面积S成正比,与长度2L成正比,与体积32V成正比,与重量32W成正比。所以:33221kwkwkC又∵wCc∴133121wkwkkc(321,,kkk为大于零的常数)(2)单位重量价格:wcC∵2334231wkwkc>033372294wkwkc>0∴图像为单调递减且上凹。由图得出随着重量的增加单位价格减少的程度变小所以:在购买商品时不要过分的追求太大包装的商品。3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给予奖励,俱乐部只准备了一把软尺用与测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到了8条鱼的数据(胸围指鱼身的最大周长)见表2-6-2。表2-8-2鱼数据表先用机理分析建立模型,再用数据确定参数。假设:鲈鱼体形几何相似,身长为L,胸围为D,体重为W。1、∵体重W与身长L和胸围D的平方成正比即:2dlw设2dlx∴kxw(k为常数)∴2*0322.0ldw2、假设:重量与身长的立方成正比,即:3klw身长(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(cm)76548211627374821389652454胸围(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.60265.3*0132.0lw3、假设:体重与身长立方,胸围立方成正比,还有与体重无关因素。33231kdklkw由mathematica得出1k、2k、3k10701100133dlw1.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数:(1)按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.(2)2.1节中的Q值方法.(3)d’Hondt方法:将各宿舍的人数用正整数,2,1n,3相除,其商见表2-6-1。12345…ABC235117.578.358.75…333166.511183.25…43221614410886.4表2-8-1d’Hondt方法商数表将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A,B,C行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.(4)你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.解:(1)宿舍人数比例(%)比例结果A23523.52.352B33333.33.333C43243.24.325总和10001001010(2),2,1,)1(2innpQiiii(1)宿舍A2352宿舍B3333宿舍C4324带入公式(1)得:)12(*223521Q9204.1)13(*333322Q9240.7)14(*443223Q9331.2∵3Q最大,第十个席位分给C宿舍。∴最后结果是宿舍A2352宿舍B3333宿舍C4325(3)如果委员会从10人增至15人。方法一:宿舍人数比例(%)比例结果A23523.53.5253B33333.34.9955C43243.26.487总和10001001515方法二:宿舍A2353宿舍B3334宿舍C4326带入公式(1)得:)13(*323521Q4602.1)14(*433322Q5544.4)16(*643223Q4443.4∵2Q最大,第十四个席位分给B宿舍。宿舍A2353宿舍B3335宿舍C4326)13(*323521Q4602.1)15(*533322Q3696.3)16(*643223Q4443.4又∵1Q最大,第十五个席位分给A宿舍,∴最后结果是宿舍A2354宿舍B3335宿舍C4326方法三:12345678A235117.578.358.74739.133.529.3B333166.511183.266.655.547.541.6C43221614410886.47261.7154表中A,B,C行有横线的数分别为3,5,7,这就是3个宿舍分配席位(4)现将十席位按照比例分配给A、B、C三个宿舍。宿舍人数比例(%)比例结果A23523.52.352B33333.33.333C43243.24.324总和1000100109再将剩下的一个席位分别给三个宿舍宿舍分配方案1分配方案2分配方案3A322B343C445平均代表人数99102104∵分配方案3每个席位平均代表人数最多∴最后结果是A宿舍2个席位,B宿舍3个席位,C宿舍5个席位。
本文标题:数学建模习题
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