数字信号处理课件(第一章)

第一章离散时间信号与系统学习目标掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。信号分类：绝大多数一维信号是时间的函数，按时间（自变量）、幅度（因变量）划分又分为四种信号：我们这章主要讨论这类离散时间信号§1.1离散时间信号(序列)Discrete-timeSignals(Sequences)一、离散时间信号的由来离散时间信号（又称序列），是连续时间信号以时间T等间隔采样得到的，T称为采样间隔（单位：秒）。32ms256samples)(10125.0256103233秒T()()atnTaxtxnTntx(t)一般，采样间隔是均匀的，用x(nT)表示离散时间信号在nT点上的值，n为整数。由于x(nT)顺序存放在存储器中，我们通常直接用x(n)表示离散时间信号－序列。0T2T3T4T5T6T7T8T9T…………0T2T3T4T5T6T7T8T9T0123456789nx(n)…………=nT|t=nT=x(nT)注意：x(n)只在n为整数时才有意义，不是整数时没有意义。二、离散时间信号的表示方法1、用枚举的方式(数列形式)表示：x(n)={3，4，2，1，0，5，7，8}注：用箭头标出n=0在序列中的位置，上面序列的x(0)=12、用公式表示：)sin()(nAnx0302)(nnnxnn1n因为n只能取整数，所以两种写法是一样的。3、用图形的方式表示：0123456789nx(n)-11211-1-2222331011图中横坐标n表示离散的时间坐标，仅在n为整数时才有意义，纵坐标代表信号点的值。4、用单位抽样序列表示.……x(0)=2x(1)=1x(2)=2x(3)=3……...(),(0),(),(2),...aaaaxTxxTxT三、序列的基本运算n和n积n移位n翻褶n累加n差分n时间尺度变换n卷积和1、序列的和：两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的新序列。x(n)n012345621211y(n)n012345611111z(n)n012345632322z(n)=x(n)+y(n)……z(0)=x(0)+y(0)=3z(1)=x(1)+y(1)=2z(2)=x(2)+y(2)=3z(3)=x(3)+y(3)=2z(4)=x(4)+y(4)=2……2、序列的积：两序列的积是指同序号n的序列值逐项对应相乘而构成的新序列。x(n)n012345621211z(n)=x(n)*y(n)……z(0)=x(0)*y(0)=2z(1)=x(1)*y(1)=2z(2)=x(2)*y(2)=2z(3)=x(3)*y(3)=2z(4)=x(4)*y(4)=1……y(n)n012345611212z(n)n0123456222213、序列的移位：设有一序列x(n)，当m为正时：x(n-m)表示序列x(n)逐项依次右移m位后得到的序列。x(n+m)表示序列x(n)逐项依次左移m位后得到的序列。n0123456n012345-1-2-3y(n)=x(n±m)x(n)x(n)x(0)=1x(1)=2x(2)=3nx(n)012342113213213213x(n+1)213x(n-1)右移左移实例：序列右移（序列延迟）的应用延时单元可以将以前的某采样时刻的数据暂存起来，参与这个时刻的运算。1||)()()(Rnxnxny回声可以用延迟单元来生成。直接声音和它的延迟了R个周期的单个回声可以用下面的式子来表示（为回声的衰减系数）：原声：混响1：混响2：=0.3,R=5000=0.3,R=100004、序列的反褶：设有序列x(n)，则x(-n)是以n=0为纵轴将x(n)反褶后的序列。y(n)=x(-n)x(n)n01234562113-1-2-3-4x(-n)n0123456-1-2-3-4213x(n)n0123456-1-2-3-4213213213……x(n)n0123456-1-2-3-4213213213……nx(-n)0123456-1-2-3-4……213213213x(-n)n0123456-1-2-3-4……213213213思考：x(-n+1)和x(-n-1)与x(-n)的移位关系？x(n)n01234562113-1-2-3-4x(0)=1x(1)=2x(2)=3x(-n)n0123456-1-2-3-4213x(-n+1)n0123456-1-2-3-4213x(-n-1)n0123456-1-2-3-4213x(-n+1)是x(-n)右移一位后的序列x(-n-1)是x(-n)左移一位后的序列5、累加设序列x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为：它表示y(n)在某一个n0上的值等于这一个n0上的x(n0)以及n0以前的所有n值上的x(n)值之和。nkkxny)()(6、差分运算前向差分：后向差分：()(1)xnxn()(1)xnxn)1()()(nxnxnx)()1()(nxnxnx7、序列的时间尺度（比例）变换设某序列为x(n)，则其时间尺度变换序列为x(mn)或x(n/m)，m为正整数。x(mn)为抽取序列x(n/m)为插值序列从x(n)序列中抽取m的整数倍时间点上的取样值，同时舍弃其它取样值，称为m：1抽取或减取样。抽取是为了减小抽样频率。表示把原序列两相邻值之间插入（m-1）个零值，称为序列的伸展或内插零值。插值是为了增加抽样频率。值其余，0)为整数(m,menkknnxnx例如：x(n)与x(2n)-2-1012n12345x(n)135x(2n)-2-1012n注意：x(n)=x(t)|t=nT采样间隔为Tx(2n)=x(t)|t=2nT采样间隔为2T，抽样x(n/2)=x(t)|t=nT/2采样间隔为T/2，插值x(n)0n12312435674567x(2n)0n13512437x()0n123124356746578910111213n28、卷积和卷积积分是求连续线性时不变系统输出响应的主要方法。卷积和是求离散线性时不变系统输出响应的主要方法。h(t)x(t)dmmthmxthtxty)()()()()(h(n)x(n)mmnhmxnhnxny)()()()()(卷积和的计算方法与步骤：(1)反褶：画出x(m)与h(m)，以m=0的纵轴为对称轴将h(m)反褶成h(-m)。(2)移位：将h(-m)移位n，得到h(n-m)。当n为正，右移n位；当n为负，左移n位。(3)相乘：将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值进行相乘。(4)相加：将所有对应点的乘积累加起来，得到某一个n下的输出值y(n)。()()()()()xnxmhnhmhm()()hmhnm()()xmhnmm()()mxmhnmmmnhmxnhnxny)()()()()(例：()()()()()mynxmhnmxnhnn-2,y(n)=0反褶n=-1n=0n=1y(-1)=8y(0)=6+4=10y(1)=4+3+6=13n=5n=6n=7y(5)=-1+1=0y(6)=0.5y(n)=0,n7注意：长为M的序列与长为N的序列的卷积结果，将得到长为M+N-1的序列。四、常用的典型序列1、单位取样序列(n)-Unitsamplesequence0001)(nnn(n)n01234561-1-2-3-4(n)是一个脉冲幅度为1的现实序列。(t)是脉宽为零，幅度为的一种数学极限，是非现实信号。单位取样序列亦称单位脉冲序列，或时域离散冲激。用单位取样序列(n)表示任意序列(n)n01234561-1-2-3-42(n-1)n01234562-1-2-3-4mmnmxnx)()()(可以将任意序列表示成单位抽样序列的移位加权和x(n)=3(n-2)n01234563-1-2-3-4(n)+2(n-1)+3(n-2)n01234563-1-2-3-41220)()(mmnmx(其中，x(0)=1,x(1)=2,x(2)=3)δ(n)x(n)2、单位阶跃序列u(n)-Unitstepsequenceu(n)n01234561-1-2-3-478910…………0001)(nnnu用单位阶跃序列u(n)表示单位取样序列(n)：)1()()(nunun用单位取样序列(n)表示单位阶跃序列u(n)：0)()(mmnnu3、矩形序列RN(n)-RectangularsequencenNnnRN其它0101)(RN(n)n01231N-1……………………用单位阶跃序列u(n)表示矩形序列RN(n)：)()()(NnununRN用单位取样序列(n)表示矩形序列RN(n)：10)()(NmNmnnR4、实指数序列Real-valuedexponentialsequence000)()(nnanuanxnn当|a|≥1时，序列发散。当|a|1时，序列收敛。当|a|1，且a0时，序列是摇动的5、正弦序列-Sinusoidalsequence00ncos)n(x,nsin)n(x正弦序列的由来对连续时间正弦信号取样可以得到正弦序列。tsin0取样nTt00nsinnTsinT00其中，，T是取样间隔(取样周期)。0称为数字域频率，0称为模拟域频率。数字域频率和模拟域频率数字域频率是模拟域频率的T倍，以后我们就以表示数字域频率，表示模拟域频率（也表示模拟域角频率，＝2f，f表示模拟域线频率）。当序列是周期序列时，表示正弦序列的序列值重复变化的快慢。例：＝0.01，则序列值每200个重复一次正弦循环＝0.1，则序列值每20个重复一次正弦循环的量纲为弧/秒，的量纲为弧。0/sTf5、复指数序列Complex-valuedexponentialsequencensinjncose)n(xnj当＝0时复指数序列ejn作为序列分解的基单元，在序列的傅里叶分析中起着重要的作用。00()()jnjnnxneee对应的|x(n)|=1，arg|x(n)|=n。模序列相角序列五、序列的周期性1、定义如果对于所有n存在一个最小的正整数N，使得：x(n)=x(n+N)成立，则称x(n)为周期序列，周期为N。2、正弦序列的周期性正弦序列：)nsin(A)n(x0]sin[])sin[()(000nNANnANnx若N0＝2k，当k为整数时(即N0为2的整数倍)，则有：x(n)=x(n+N)，x(n)为周期信号。观察N0＝2k：(即)kN02(1)当2/0为整数时：k=1，则N=2/0为最小整数，且保证x(n)=x(n+N)。02sin()8448nN0如，，该序列是周期为的周期序列在任何情况下该等式都成立吗观察N0＝2k：(即)kN02(2)当2/0为有理数时(有理数可表示成分数)：kN02若N、k互素，则此时N取得最小整数，使x(n)=x(n+N)。注：此时k≠104425sin()5525n0如，，，该序列是周期为的周期序列(3)当2/0为无理数时：任何k都不能使N为整数，此时x(n)不是周期性的。注：这和连续信号时不同观察N0＝2k：(即)kN02