圆锥曲线与方程知识点复习及例题

第二章圆锥曲线与方程§2.1椭圆:知识梳理1、椭圆及其标准方程（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F2F|，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F|，则动点的轨迹是线段1F2F.（2）.椭圆的标准方程：12222byax12222bxay（a＞b＞0）（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.2、椭圆的简单几何性质（a＞b＞0）.（1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程12222byax,线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，(2).离心率：ace221ba0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.(3)椭圆的焦半径：exaMF1，exaMF2.2a=2b+2c典例剖析(4).椭圆的的内外部点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab(5).焦点三角形21FPF经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．将有关线段1PF、2PF、2c，有关角21PFF结合起来，建立12PFPF、12PFPF等关系．§2.1.1椭圆及其标准方程:典例剖析题型一椭圆的定义应用例1题型二椭圆标准方程的求法例2已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22，求椭圆的标准方程§2.1.2椭圆的简单的几何性质典例剖析题型一求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等．例1已知椭圆22(3)(0)xmymm的离心率32e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．例2设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A．22B．212C．22D．21例3已知椭圆C的焦点F1（－22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线2xy交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．§2.2双曲线:知识梳理1、双曲线及其标准方程（1）双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|1F2F|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|1F2F|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F2F|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|1F2F|，则无轨迹.若1MF＜2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF＞2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.（2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.2、双曲线的简单几何性质（1）.双曲线12222byax实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率ace221ba离心率e越大，开口越大.（2）.双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax.若已知双曲线的渐近线方程是xnmy，即0nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中k是一个不为零的常数.（3）焦半径公式21|()|aPFexc，22|()|aPFexc.双曲线焦半径应用举例双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。已知点P(x0，y0)在双曲线22ax－22by=1(a＞0，b＞0)上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点。若点P在右半支上，则|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0－a；若点P在左半支上，则|PF1|=－(ex0+a)，|PF2|=－(ex0－a)．利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，供参考。一、求双曲线的标准方程例1、设F1、F2是双曲线22ax－22by=1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，l为左准线，离心率e=23，P(－328,m)是左支上一点，P到l的距离为d，且d，|PF1|，|PF2|成等差数列，求此双曲线方程。分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数.解：由双曲线的第二定义知：d=32|PF1|，又|PF1|=－(ex0+a)=14－a,|PF2|=－(ex0－a)=14＋a,由已知得：d＋|PF2|=2|PF1|，即32(14－a)＋(14＋a)=28－2a得：a=2，c=3，b=5，故双曲线的方程为42x－52y=1。评注：利用焦半径公式，可使运算过程简便易行。二、求值例2双曲线92x－162y=1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为_____________.分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出P点纵坐标即可。解：不妨设P在双曲线上右支上，设P(x0，y0)，则|PF1|=ex0+a=3＋35x0，|PF2|=ex0－a=35x0－3，则|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2，即：(3＋35x0)2＋(35x0－3)2=100，所以20x=25369，又920x－1620y=1，所以20y=25256，所以点P到x轴的距离为516。评注：利用双曲线的定义和焦半径公式，简单明了。三、求范围例3如图，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当32≤≤43时，求双曲线离心率e的取值范围．解：以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性可知，C、D关于y轴对称．设双曲线的焦距为2c，则A、B、C三点的横坐标分别为－c、c、2c，则点E的横坐标为xE=12cc．根据双曲线焦半径公式，有：|AE|=－(exE＋a)=1ec－)1(2ec－a，|BC|=exc－a=2ec－a，xyABODCE而AC与AE同号，从而||||AEAC=AEAC=1．∴|AC|=1·|AE|=1·[1ec－)1(2ec－a]=ec－2ec－1a，由双曲线的定义有|AC|－|BC|=2a，即(ec－2ec－1a)－(2ec－a)=2a，两边同除以a，并化简整理，得(1－1)e2=2＋1，∴e2=112=－2＋13．由32≤≤43，得3≤11≤4，解得7≤e2≤10．∴7≤e≤10，故所求双曲线离心率e的取值范围是[7，10]．评注：凡是遇到双曲线上的点到双曲线焦点距离的问题，均可考虑使用焦半径公式．四、其他问题例4在双曲线122y－132x=1的上支上有三点A(x1，y1),B(26,6),C(x3,y3)与F(0，5)的距离成等差数列。求证：AC的垂直平分线经过某一定点。分析；利用焦半径及等差数列概念，列出等式，可解此题。证明：|AF|=ey1－a，|BF|=6e－a，|CF|=ey3－a，由已知得：2|BF|=|AF|＋|CF|，得：y1＋y3=2×6=12。设AC的中点M(x0，6)，其中x0=231xx，又A，C在双曲线上，于是131212131312121323232121xyxy，两式相减得：13(y3－y1)(y3＋y1)－12(x3－x1)(x3＋x1)=0，得：13(y3＋y1)·1313xxyy－12（x3＋x1）=0，得：ACk=1320x，所以AC的垂直平分线方程为：y－6=－0213x(x－x0)，即13x＋x0(2y－25)=0，故经过定点(0，225)。评注：点差法是求解双曲线问题的一种常用方法。例5已知双曲线252x－1442y=1的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l．能否在双曲线的左支上找到一点P，使|PF1|是P到l的距离与|PF2|的等比中项？若能，试求出P点坐标；若不能，请说明理由．分析；此题为探索题目，一般可设存在点P，再利用焦半径及等比数列概念列等式可求解。解：由a=5，c=13，知e=513，ca2=1325．设P(x0，y0)，P到l的距离为d，则|PF1|=－a－ex0=－5－513x0，|PF2|=a－ex0=5－513x0，d=－ca2－x0=－1325－x0．令|PF1|2=d·|PF2|，即(－5－513x0)2=(－1325－x0)(5－513x0)，解得：x0=－1325或x0=－32225．①另一方面，因为P在左支上，所以x0≤－5．②①与②矛盾．故符合条件的P点不存在．评注：一般的，211e是双曲线22ax－22by=1左支上存在P点，使|PF1|2=d·|PF2|成立的充要条件。本题中双曲线离心率e=51321，故符合条件的P点不存在．例如双曲线202x－252y=1的离心率2123e，则这样的P点一定存在。类似的可得：32e是双曲线22ax－22by=1左支上存在P点，使2|PF1|=d+|PF2|成立的充要条件。通过以上几例，不难看到，适当的利用焦半径公式，以及双曲线的第二定义解答双曲线类问题确能起到事半功倍之效果。（4）双曲线的方程与渐近线方程的关系①若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220xyabxaby；②若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax；③若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.④双曲线22221(,0)xyabab焦点三角形面积：12FPFS2cot2b，高h2cot2bc。§2.2.1双曲线的定义与标准方程:典例剖析题型一双曲线标准方程的判断题型二求双曲线标准方程例2已知双曲线过(1,1),(2,5)MN两点，求双曲线的标准方程例3§2.2.2双曲线的简单的几何性质典例剖析题型一双曲线的性质例1已知双曲线与椭圆125922yx共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.题型二有共同渐近线的双曲线方程的求法例2求与双曲线22193xy有共同的渐近线，并且经过点(3,4)的双曲线方程．例3设双曲线2212yx上两点A、B，AB中点M（1，2）,求直线AB方程；例4k代表实数，讨论方程22280kxy所表示的曲线.题型三直线与双曲线的位置关系例已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x2－2y2=1总有公共点，试求实数k的取值范围.§2.3抛物线知识梳理1．抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．方程022ppxy叫做抛物线的标准方程．注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（2p,0），它的准线方程是2px；2．抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py范围0x0x0y0y对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e1e1e1e说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中