圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)

1专题：圆锥曲线之轨迹问题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,xy的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)xy中的,xy分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。二、小试牛刀1.已知M（-3,0），N（3,0）6PNPM,则动点P的轨迹方程为析：MNPMPN∴点P的轨迹一定是线段MN的延长线。故所求轨迹方程是0(3)yx2.已知圆O的方程为222yx，圆O的方程为010822xyx，由动点P向两圆所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程为析：∵圆O与圆O外切于点M(2,0)∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等，故动点P的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x3.已知椭圆)0(12222babyax，M是椭圆上一动点，1F为椭圆的左焦点，则线段1MF的中点P的轨迹方程为析：设P(,)xy00(,)Mxy又1(,0)Fc由中点坐标公式可得：00002222xcxxxcyyyy又点00(,)Mxy在椭圆)0(12222babyax上2∴2200221(0)xyabab因此中点P的轨迹方程为2222(2)41xcyab4.已知A、B、C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC内的一定点，P是动点，若,0),21(BCABOAOP,则点P的轨迹一定过三角形ABC的重心。析：设点D为BC的中点，显然有OPOAAP12ABBCABBDAD,0,APAD故点P的轨迹是射线AD，所以，轨迹一定过三角形的重心。三、大显身手1、直接法例1、设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，若,2PABP且1ABOQ,则P点的轨迹方程为解：设(,0),(0,)AaBb又(,)Pxy所以(,),(,)BPxybPAaxy又,2PABP所以32()223xaxaxybyby33(,0),(0,3)(,3)22AxByABxy而Q点与P点关于y轴对称，∴点Q的坐标为(,)xy即(,)OQxy又1ABOQ所以223312xy这个方程即为所求轨迹方程。变式1、已知两点M（-2,0），N（2,0），点P满足0NPMNMPMN,动点P的轨迹方程为解:设(,)Pxy则：224,(2),(4,0),(2,).MNMPxyMNNPxy又0NPMNMPMN224(2)4(2)0xyx化简得所求轨迹方程为：28yx32、定义法例2、已知圆A的方程为100)3(22yx，点B（-3,0），M为圆O上任意一点，BM的中垂线交AM于点P，求点P的轨迹方程。解：由题意知：BPMPAMPAMPPAPB又圆A的半径为10，所以10AM10PBPA即点P的轨迹是以定点A(3,0)B(-3,0)为焦点，10为长轴的椭圆（椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外）其轨迹方程为)5(1162522xyx变式2、已知椭圆)0(12222babyax的焦点为21,FF，P是椭圆上的任意一点，如果M是线段PF1的中点，则动点M的轨迹方程是解：因为M是线段PF1的中点，连接OM，则221PFOM1121PFMF由椭圆的定义知：aPFPF221aPFPFMOMF)(21211即点M到定点O、定点1F的距离和为定值a，故动点M的轨迹是以O、1F为焦点，以a为长轴的椭圆，其方程为14)2(42222byacx（说明：此题也可以用代入法解决）3、坐标转移法（代入法）例3、从双曲线122yx上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。OPxyABM0xyPF1F2M4解：设Q),(00yx则由02000yxyxyx可得N点坐标22220000yxyyxx设),(yxP由中点坐标公式可得：23223222322232000000yxyyxxyxyyxx又点Q),(00yx在双曲线122yx上，所以4442020yx代入得4)23()23(22yxyx化简得21)21()21(22yx即为所求轨迹方程。变式3、自抛物线xy22上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R，求点R的轨迹方程。解：设),(),,(00yxPyxR∵抛物线的方程是xy22∴),21(),0,21(0yQF所以直线OP的方程是000xxxy直线QF的方程是02100yyxy联立两方程得：12212200xyyxxx又0202xy所以)122(2)122(2xxxy化简得：0222xyx即为所求轨迹方程。4、参数法例4、设椭圆方程为1422yx，过点M（0,1）的直线l交椭圆于A、B，点P满足)(21OBOAOP,点)21,21(N，当直线l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）NP的最大、最小值。5解：（1）设直线l的方程为1kxy代入椭圆方程得032)4(22kxxk设),(),,(2211yxByxA则22142kkxx2422)(222121kkxxkyy设动点P的坐标为),(yx，由)(21OBOAOP可得22122144242kyyykkxxx消去参数k即得所求轨迹方程为：0422yyx当斜率k不存在时，点P的坐标为（0,0）显然在轨迹上，故动点P的轨迹方程为0422yyx。（2）P点的轨迹方程可以化为1)21(41622yx所以可设点P的坐标为)sin2121,cos41(则21cos41cos163)sin21()21cos41(2222PN127)32(cos1632所以当32cos时621maxPN当1cos时41minPN变式4、过抛物线xy22的顶点作互相垂直的两弦OA、OB.(1)求弦AB的中点的轨迹方程；（2）证明：直线AB与x轴的交点为定点。解：（1）由题意知OA的斜率存在且不为零，设为k则直线OA的方程为kxy与抛物线xy22联立可得点A的坐标为)2,2(2kk同理可得点B的坐标为)2,2(2kk设弦AB的中点为M（x,y）则kkykkx1122消去k得弦AB的中点的轨迹方程为622xy（2）直线AB的斜率为21kkkAB所以，其方程为)2(1222kxkkky令0y得2x故直线AB与x轴的焦点为定点（2,0）5、交轨法例5、垂直于x轴的直线交双曲线1222byax于M、N两点，21,AA为双曲线的顶点，求直线MA1与NA2的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状。解：.解：(1)设M点的坐标为(x1,y1)，则N点坐标为(x1,－y1),又有)0,(),0,(21aAaA则A1M的方程为：y=)(11axaxy①A2N的方程为：y=－)(11axaxy②①×②得：y2=－)(2222121axaxy③又因点M在双曲线上，故).(,12212221221221axabybyax即代入③并整理得2222byax=1.此即为P的轨迹方程.变式5、设点A、B为抛物线)0(22ppxy上除原点以外的两个动点，已知OA⊥OB,OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解:设OA=y=kx,则xkyOB1:，pxykxy22得)2,2(2kpkpA同理B(2pk2,-2pk)722222111112222kkkkkkkkpkkppkkpkABAB:23222121)2(12kpkxkkpkxkkpky)2(11211221222232pxkkkpkxkkkpkpkxkky....①而op:xkky21.....②∵M为AB与OM的交点，联立①②)2......(..........1)1).......(2(122xkkypxkky(1)×(2)消去k,y2=-(x-2p)x,∴x2+y2-2px=0(x≠0)即为所求.四、享受战果1、已知4),0,2(),0,2(PNPMNM，则动点P的轨迹方程为析:满足条件的点在线段MN上，故轨迹方程是0(22)yx2、经过抛物线pxy22焦点的弦的中点的轨迹方程为析：设过焦点的弦AB所在的直线方程为()2pykx代入抛物线方程消去y的2222222()2(2)024pkpkxpxkxpkx设1122(,),(,)AxyBxyAB的中点为(,)Mxy则21221212(2)22()22xxpkxkyykpyxxpk消去参数k得2()2pypx这就是所求轨迹方程。3、与圆0422xyx外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为析：若与圆0422xyx外切，又与y轴相切的圆在y轴的左侧，8则所求轨迹方程为0(0)yx若与圆0422xyx外切，又与y轴相切的圆在y轴的右侧则动圆圆心到定圆圆心地距离减去定圆半径2等于动圆圆心到y轴的距离，故所求轨迹方程为28.yx4、设21,AA是椭圆14922yx的左右顶点，21,PP是垂直于长轴的弦的端点，则直线11PA与22PA的交点的轨迹方程为解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴300xyxxyy∵A2、P2、P共线，∴300xyxxyy解得x0=149,149,3,92220200yxyxxyyx即代入得5、已知椭圆13422yx的焦点为21,FF，A是椭圆上任意一点，过点1F向∠21AFF的外角平分线作垂线于D，则点D的轨迹方程为解：设DF1的延长线交直线AF2于P，),(),,(11yxPyxD由椭圆的定义知：aAFAFPF2212=8∴8)1(2121yx①又yyxxyyxx2122211111代入①得)0(222yyx即为点D的轨迹方程。6、过原点的双曲线以F（4,0）为一个焦点，且实轴长为2，则此双曲线的中心的轨迹方程为9析：设双曲线的中心为(,)Pxy，则双曲线的另一个焦点为(24,2)Fxy又双曲线过原点，且实轴长为2