圆锥曲线大题题型归纳

第1页（共9页）圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F1，F2为椭圆2100x+264y=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。变式1、已知12,FF分别是双曲线223575xy的左右焦点，P是双曲线右支上的一点，且12FPF=120，求12FPF的面积。变式2、已知F1，F2为椭圆2221100xyb(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．（1）求|PF1|•|PF2|的最大值；（2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为6433，求b的值第2页（共9页）题型二过定点、定值问题例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C：22221(0)xyabab经过点3(1,)2，离心率为32，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点1122(,),(,)PxyQxy.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当0APAQ时，求OPQ面积的最大值；（Ⅲ）若直线l的斜率为2，求证：OPQ的外接圆恒过一个异于点A的定点.处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。例3、（聊城市2017届高三高考模拟（一））已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为32，一个顶点在抛物线24xy的准线上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，,MN为椭圆上的两个不同的动点，直线,OMON的斜率分别为1k和2k，是否存在常数p，当12kkp时MON的面积为定值？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由.变式1、已知椭圆2222:10xyCabab的焦距为1223,AA，点为椭圆的左右顶点，点M为椭圆上不同于12,AA的任意一点，且满足1214AMAMkk．(I)求椭圆C的方程：第3页（共9页）(2)已知直线l与椭圆C相交于P，Q(非顶点)两点，且有11APAQ．(i)直线l是否恒过一定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由．(ii)求2PAQ面积S的最大值．点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明变式2、已知椭圆22221xyab(a＞b＞0)的离心率为焦距为2．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，C，D为椭圆上位于直线PQ异侧的两个动点，满足∠CPQ=∠DPQ，求证：直线CD的斜率为定值，并求出此定值．变式3、（临沂市2017届高三2月份教学质量检测（一模））如图，椭圆C：222210xyabab的离心率为32，以椭圆C的上顶点T为圆心作圆T:22210xyrr，圆T与椭圆C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B.(I)求椭圆C的方程；(II)求TATBuuruur的最小值，并求出此时圆T的方程；(III)设点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与Y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：OMON为定值．例4、设椭圆C：22221xyab（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2=43y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的第4页（共9页）左、右焦点，且离心率e=12且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．变式1、（烟台市2017届高三3月高考诊断性测试（一模））如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点F为抛物线24yx的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于,AB两点，且3AB.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若,MN为椭圆上异于点A的两点，且满足||||AMAFANAFAMAN，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.题型三“是否存在”问题例5、（泰安市2017届高三第一轮复习质量检测（一模））已知椭圆222210xyCabab：经过点2,1，过点A(0，1)的动直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为22.[第5页（共9页）(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)是否存在与点A不同的定点B，使得ABMABN恒成立?若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．变式1、在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．题型四最值问题例6.【2016高考山东理数】平面直角坐标系xOy中，椭圆C：222210xyabab＞＞的离心率是32，抛物线E：22xy的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG△的面积为1S，PDM△的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标.第6页（共9页）例7、（滨州市2017届高三下学期一模考试）如图，已知DPy轴，点D为垂足，点M在线段DP的延长线上，且满足DPPM，当点P在圆223xy上运动时.（1）当点M的轨迹的方程；（2）直线:3(0)lxmym交曲线C于,AB两点，设点B关于x轴的对称点为1B（点1B与点A不重合），且直线A与x轴交于点E.①证明：点E是定点；②EAB的面积是否存在的最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.例8、（潍坊市2017届高三下学期第一次模拟）已知椭圆C与双曲线221yx有共同焦点，且离心率为63．(I)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)设A为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆上异于A的不同两点，且直线AM与AN的斜率之积为－3．(i)试问M、N所在直线是否过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由；第7页（共9页）(ii)若P为椭圆C上异于M、N的一点，且MPNP，求△MNP的面积的最小值．点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。变式1、（2015•高安市校级一模）已知方向向量为（1，3）的直线l过点（0，-23）和椭圆C：22221xyab（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为12．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点P（-8，0）的直线与椭圆相交于不同两点A、B，F为椭圆C的左焦点，求三角形ABF面积的最大值．变式2、（青岛市2017年高三统一质量检测）已知椭圆:2221xya(1)a的左焦点为1F，右顶点为1A，上顶点为1B，过1F、1A、1B三点的圆P的圆心坐标为3216(,)22．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线:lykxm（,km为常数，0k）与椭圆交于不同的两点M和N．（ⅰ）当直线l过(1,0)E，且20EMEN时，求直线l的方程；（ⅱ）当坐标原点O到直线l的距离为32时，求MON面积的最大值．第8页（共9页）题型五求参数的取值范围例9、（济宁市2017届高三第一次模拟（3月））如图，已知线段AE，BF为抛物线2:20Cxpyp的两条弦，点E、F不重合．函数01xyaaa且的图象所恒过的定点为抛物线C的焦点．(I)求抛物线C的方程；(Ⅱ)已知12,114AB、，，直线AE与BF的斜率互为相反数，且A，B两点在直线EF的两侧．①问直线EF的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．②求OEOF的取值范围．变式1、（德州市2017届高三第一次模拟考试）在直角坐标系中，椭圆1C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，其中2F也是抛物线2C：24yx的焦点，点P为1C与2C在第一象限的交点，且25||3PF．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过2F且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M、N两点，若线段2OF上存在定点(,0)Tt使得以TM、TN为邻边的四边形是菱形，求t的取值范围．小结解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：第9页（共9页）一设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=mmy+n的区别）二设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）三则联立方程组；四则消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB为直径的圆过点0”OAOB121KK（提醒：需讨论K是否存在）0OAOB12120xxyy②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”1212xxyy0；③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（120KK或12KK）；④“共线问题”（如：AQQB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；⑤“点、线对称问题”坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算；七则细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.