高考数学一轮单元复习：第56讲 随机事件的概率

│随机事件的概率│知识梳理知识梳理1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称。(2)在条件S下，发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称。(3)和统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．(4)在条件S下，的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称。必然事件一定会一定不会不可能事件必然事件不可能事件可能发生也可能不发生随机事件│知识梳理2.频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．3.概率对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在上，把这个记作，称为事件A的概率，简称为A的概率．4．事件的关系与运算频数Ann某个常数P(A)常数│知识梳理(1)对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B发生，这时称事件B包含事件A(或称)，记作(或)．(2)若，且，那么称事件A与事件B相等，记作.(3)若某事件发生当且仅当事件A发生事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或)，记作(或)．(4)若某事件发生当且仅当事件A发生事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或)，记作(或)．事件A包含于事件BABA＝B或和事件A∪BA＋B且积事件A∩BABBABAAB一定│知识梳理(5)若A∩B为不可能事件(A∩B＝)，那么称事件A与事件B，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(6)若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为：.(2)必然事件的概率为.(3)不可能事件的概率为.(4)互斥事件概率的加法公式：互斥互为对立事件0≤P(A)≤110│知识梳理如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝．特别地，若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝．P(A)＋P(B)1－P(B)│要点探究要点探究►探究点1事件的概念及其判断例1一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球．(1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？│要点探究【思路】此题是概念题，在理解必然事件、不可能事件、随机事件及概率定义的基础上，容易得出正确解答．【解答】(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率是0；(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是38；(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球就是白球，因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是1.【点评】要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．│要点探究│要点探究变式题给出下列事件：①同学甲竞选班长成功；②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；④若集合A，B，C，满足AB，BC，，则AC；⑤古代有一个国王想治罪一位画师，背地里在2张签上都写上“罪”字，再让画师抽“罪和无罪签”，画师抽到罪签；⑥12月天下雪；│要点探究⑦从1,3,9中任选两数相加，其和为偶数；⑧骑车通过10个十字路口，均遇红灯．其中属于随机事件的有()A．3个B．4个C．5个D．6个【思路】按照随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的定义逐个作出判断．本题考查随机事件的概念．在判断一个事件是不是随机事件的时候，要根据问题的实际意义和随机事件的概念认真进行分析，且不可盲目作出结论．【解答】B①②⑥⑧为随机事件．│要点探究►探究点2互斥事件与对立事件的关系例2从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球│要点探究【思路】根据事件的互斥与对立的关系解答．【解答】C恰有1个白球，便不再可能恰有2个白球，且恰有1个白球与恰有2个白球的事件不可能必有一个发生，故选C.【点评】对立事件是互斥事件的特殊情况，两个事件对立一定互斥，但互斥的两个事件不一定对立，从集合的观点说，事件A，B互斥是集合A∩B＝，但不一定A∪B＝Ω，但事件A，B对立必须满足A∩B＝，A∪B＝Ω(为不可能事件、Ω为必然事件)．│要点探究│要点探究变式题把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得蓝牌”()A．是对立事件B．是不可能事件C．不是互斥事件D．是互斥不对立事件【思路】按照事件对立事件、互斥事件、不可能事件的概念进行判断．│要点探究【解答】C“甲分得红牌”与“乙分得蓝牌”不可能同时发生也不可能必有一个发生，还可能有出现黄、白牌的可能，两者的并集不是必然事件，故是互斥但不对立事件，正确选项为C.│要点探究►探究点3互斥事件与对立事件的概率例3[2009·上海卷]若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是________．(结果用最简分数表示)【思路】基本事件总数即是从7个元素中选出3个元素的组合数，随机事件“选出的志愿者中男女生均不少于1名”的对立事件是“选出的3人都是男生”，根据对立事件概率之间的关系解决．【答案】57│要点探究【解析】方法1.因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时，方法数为C35，概率为C35C37＝27，所以，均不少于1名的概率为1－27＝57.方法2.选出的是男生1名、女生2名时，方法数为C15C22＝5，选出的是男生2名、女生1名时，方法数是C25C12＝20，故随机事件“男女生均不少于1名”所包含的基本事件的个数是25，基本事件的总数是C37＝35，故所求的概率为2535＝57.【点评】本题只有2名女生，在寻找随机事件“选出的志愿者中男女生均不少于1名”的对立事件时“选出的都是女生不可能出现”，可能在这个地方出现错误．在分析事件之间的关系时，要把事件分成若干个互不重复而各个事件的和又是必然事件的事件，如本题中，选出的3人可以分为三个事件：选出的都是男生、选出2名男生1名女生、选出1名男生2名女生．通过这样的分析，事件之间的关系就清楚了，解决问题的思路就明确了，也就可以有效地避免出现错误．│要点探究│要点探究变式题一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若将有放回地每次摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行3次，则至少摸到一次红球的概率是()A.18B.78C.38D.58│要点探究【思路】“至少摸到一个红球的”对立事件是“一次红球也没有”即“三次都是蓝球”．本题考查对立事件概率之间的关系．含有“至少、至多”等字眼的问题，可以考虑根据对立事件概率关系简化解题过程，如至少有一个的对立面是一个也没有，至少有两个的对立面是一个也没有或者只有一个等，当至少包含的情况较多时，转化为其对立事件就会简化运算，对至多的情况类似理解．│要点探究【解答】B基本事件的个数共有8个，三次都是蓝球所含有的基本事件只有1个，这个概率是18，根据对立事件的概率之间的关系，所求的概率为1－18＝78，选B.│要点探究例4将两颗骰子投掷一次，求：(1)向上的点数之和是8的概率；(2)向上的点数之和不小于8的概率．【思路】将随机事件拆成一些互斥事件的和，根据互斥事件的概率加法公式计算．│要点探究【解答】将两颗骰子投掷一次，共有36种情况，向上的点数之和的不同值共11种．(1)设事件A＝{两骰子向上的点数之和为8}，事件A1＝{两骰子向上的点数分别为4和4}，事件A2＝{两骰子向上的点数分别为3和5}，事件A3＝{两骰子向上的点数分别为2和6}，则A1与A2，A3互为互斥事件，且A＝A1＋A2＋A3，故P(A)＝PA1＋A2＋A3＝136＋236＋236＝536.(2)设事件S＝{两骰子向上的点数之和不小于8}，事件A＝{两骰子向上的点数之和为8}，事件B＝{两骰子向│要点探究上的点数之和为9}，事件C＝{两骰子向上的点数之和为10}，事件D＝{两骰子向上的点数之和为11}，事件E＝{两骰子向上的点数之和为12}，则A，B，C，D，E互为互斥事件，且S＝A＋B＋C＋D＋E，P(A)＝536，P(B)＝19，P(C)＝112，P(D)＝118，P(E)＝136，故P(S)＝P(A＋B＋C＋D＋E)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝536＋19＋112＋118＋136＝512.【点评】在概率计算题中将随机事件表示为一些互斥事件的和是一种重要的解题技能，这种表示不但可以使得解题过程表达清晰，还能有效地优化解题思路、避免错误．│要点探究│要点探究变式题如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，那么取到红心(事件A)的概率是14，取到方块(事件B)的概率是14.求：(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？│要点探究【思路】将事件拆成一些互斥事件的和进行计算．【解答】(1)因为取到红心(事件A)与取到方块(事件B)不能同时发生，所以A与B是互斥事件，且有C＝A＋B故由互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝PA＋B＝P(A)＋P(B)＝14＋14＝12.│要点探究(2)因为当取一张牌时，取到红色牌(事件C)与取到黑色牌(事件D)不可能同时发生，所以C与D也是互斥事件．又由于事件C与事件D必有一个发生，即C＋D为必然事件，所以C与D互为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－12＝12.│规律总结规律总结1．事件A发生的频率与概率的区别与联系：在大量重复试验中概率是个定值，它不随试验次数的变化而变化，而频率在不同的试验中的数值可以不同，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．2．互斥事件与对立事件的区别与联系：两个事件是互斥事件在一次试验中的可能结果有两种，一是都不发生，二是有且只有一个发生；两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生，这样的两个互斥事件就是对立事件．│规律总结3．应用互斥事件的概率加法公式时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．