空间解析几何

-1-图1.1空间解析几何空间解析几何是在三维坐标系中，用代数方法研究空间曲面和曲线性质的一个数学分支。这份讲义主要介绍线性空间中向量的线性运算，向量内积、外积和混合积，并讨论直线、平面和各类二次曲面。这些知识是学习多元微积分的必要准备。§1空间直角坐标系我们知道，建立了平面直角坐标系后，平面上的每一点都与其坐标一一对应，这样就定量地确定了平面上的任一点位置。为了定量地确定空间上每一点的位置，我们需要建立空间直角坐标系。在空间取定一点O，过点O作三条相互垂直的数轴，它们都以O为原点，且都取相同的长度单位。这三条数轴通常分别称为x轴，y轴和z轴，统称坐标轴。它们的正方向要符合右手定则，即以右手握住z轴，当右手的四个手指从x轴正向以2/π角度转向y轴正向时，拇指的指向就是z轴的正向。这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系。点O称为坐标原点，简称原点。习惯上把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则铅垂向上，当然它们要符合右手定则。由x轴和y轴确定的平面称为Oxy平面，由y轴和z轴确定的平面称为Oyz平面，由z轴和x轴确定的平面称为Ozx平面。统称坐标平面。三张坐标平面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。含有x轴，y轴和z轴正半轴的那个卦限称为第I卦限，第II、第III、第IV卦限在Oxy平面上方，依逆时针方向依次确定。第V、VI、VII、VIII卦限在Oxy平面下方，由第I卦限之下的第V卦限，依逆时针方向依次确定。对于空间上的任一点M，过点M作三张平面分别垂直于x轴，y轴和z轴，且与这三个轴分别交于P，Q，R三点（见图1.1），这三点在x轴，y轴和z轴的坐标依次为zyx,,，那么点M唯一确定了一个3R中的元素),,(zyx（此处，我们用行向量来表示向量）；反之，对于3R中的元素),,(zyx，分别在x轴，y轴和z轴上取坐标为zyx,,的点P，Q，R，然后通过P，Q，R分别作垂直于x轴，y轴和z轴平面。这三张平面的交点便是由),,(zyx所确定的点。这样一来，我们就建立了空间上的点M与3R中的元素),,(zyx的一一对应关系。称),,(zyx为M的坐标。显然，原点O的坐标为)0,0,0(。我们常将坐标为),,(zyx的点M记为M),,(zyx。设),,(1111zyxM，),,(2222zyxM为空间上两点。过21,MM各作三张平面分别垂直于三个坐标轴。，这六张平面围成一个以线段21MM为对角线的长方体（见图1.2，这些平面与三个坐标轴的交点如图所示）。1M与2M的距离d就是线段21MM的长度||21MM。由于22212212||||||NMNMMMd+==-2-22122122122221||||||||||||RRQQPPNMPNPM++=++=212212212)()()(zzyyxx−+−+−=，所以212212212)()()(zzyyxxd−+−+−=。这就是空间中两点间的距离公式。特别地，如果1M和2M都在Oxy平面上，这时021==zz，则1M与2M的距离为212212)()(yyxxd−+−=，这与平面直角坐标系中的情况相吻合。显然点),,(zyxM与原点)0,0,0(O的距离为222zyx++。§2向量及其线性运算向量的概念在实际生活中，我们常遇到一类量，如力、速度、加速度、电场强度等，它们既有大小又有方向。既有大小又有方向的量称为向量。从几何上看，向量就是空间上的有向线段，即规定了一端为起点，另一端为终点，并确定由起点指向终点为方向的线段。在空间直角坐标系下，对于空间中任一点M，记OM是起点为坐标原点O，终点为M的向量，过点M作三张平面分别垂直于x轴，y轴和z轴，它们与这三个轴分别交于P，Q，R三点，这三点在x轴，y轴和z轴的坐标依次为zyx,,，由于MP，MQ和MR分别垂直于坐标轴，因而也分别称x，y和z为OM在x轴，y轴和z轴上的（数量）投影。显然，向量OM与点M是一一对应的，而由OM在三个坐标轴上的投影zyx,,组成的3R中的元素),,(zyx即为M的坐标。于是，3R中的元素),,(zyx既可以表示空间中的点，又可以表示向量，空间上的点与向量就统一起来了，这就是我们将3R中元素称为向量的原因。在本讲义中，3R中的元素有时表示点，有时表示向量，请读者根据不同情况加以确认。再者，规定向量由其大小与方向唯一确定，而与其起点无关。这就是说，如果一个向量通过平行移动，与另一个向量完全重合，我们就认为它们是相等的。对于空间上的任意向量a，我们可以将它平行移动，使它的起点重合于原点，便得到一个与a相等的向量OM。OM在x轴，y轴和z轴上的投影zyx,,称为向量a的坐标（或a在x轴，y轴和z轴上的投影）。于是，我们就可以将a与),,(zyx等同起来，即),,(zyx=a。显然，空间中起点为1M),,(111zyx，终点为2M),,(222zyx的向量21MM),,(121212zzyyxx−−−=。向量a的大小称为a的模，记作a，给定向量)(x,y,z=a，则222zyx++=a。xyP1P2Q1Q2R1R2M1M2OPRQNz图1.2-3-模等于零的向量称为零向量。向量的线性运算定义2-1设),,(111zyx=a，),,(222zyx=b，向量),,(212121zzyyxx+++称为向量a和b的和，记作ba+，即),,(),,(),,(212121222111zzyyxxzyxzyx+++=+=+ba在空间直角坐标系中，如果作a=OA，b=OB，并以OA、OB为邻边作一平行四边形OACB，那么OC就是a和b的和向量，所以我们把上述定义称为向量加法的平行四边形法则。定义2-2设向量)(x,y,z=a，c为实数，规定向量),,(czcycx为向量a与数量c的乘积，记作ca，即),,(),,(czcycxzyxcc=⋅=aaa⋅=++=++=czyxcczcycxc)()()()(2222222所以ac的模等于a的模乘以|c|。如果存在一个常数λ，使得baλ=（或abλ=），则称向量a和b平行（或共线），记作a∥b。特别在1−=λ时，a−和a有着相同的模和相反的指向，我们把a−称为a的负向量。向量的加法运算和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算满足下列法则：(1)a+b=b+a(2)a+(b+c)=(a+b)+c(3)a+0=a(4)a+(a−)=0(5)c(a+b)=ca+cb(6)(λ+μ)a=λa+μa(7)(λμ)a=λ(μa)(8)a⋅1=a这些性质都可以根据定义加以验证。模等于1的向量称为单位向量。例2.1设a=(3,0,4)，b=(1,－2,5)，求|a|，a+b，a－b，3a－5b。解5403||222=++=a)9,2,4()5,2,1()4,0,3(−=−+=+ba)1,2,2()5,2,1()4,0,3(−=−−=−ba-4-)13,10,4()25,10,5()12,0,9()5,2,1(5)4,0,3(353−=−−=−−=−ba习题1.设cbau2+−=，cbav−+−=3，试用a，b，c表示vu32−。2.求与下列向量同方向的单位向量。(1)(－2,4,3)(2)(1,－4,8)(3)ji+(4)kji742+−3.设c是线段AB上一点，c到A，B的距离之比为1:2，a=OA，b=OB，c=OC，求证bac3132+=。4.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试应用向量证明它是平行四边形。§3向量的内积、外积与混合积向量的内积定义3-1设),,(),,,(321321bbbaaa==ba，称a和b的对应分量乘积之和为a和b的内积，记为ba⋅，即332211321321),,(),,(babababbbaaaba++=⋅=⋅内积也可称为“点积”或“数量积”。实数乘法的许多规律都适用于向量的数量积运算，我们把它们罗列如下：(1)2||aaa=⋅(2)abba⋅=⋅(3)cabacba⋅+⋅=+⋅)((4))()()(bababaccc⋅=⋅=⋅(5)0=⋅a0这些性质都可以由定义加以证明，例如对于性质3，我们可证明如下：cabacba⋅+⋅=+++++=+++++=+++⋅=+⋅)()()()()(),,(),,()(332211332211333222111332211321cacacabababacbacbacbacbcbcbaaa-5-给定两个向量a和b，作a=OA，b=OB，我们把∠AOB(0≤∠AOB≤π)称为向量a和b的夹角，记作︿),(ba。下面的定理给出数量积的另一种计算方法。定理3-1︿),cos(ba|b||a|ba=⋅证作a=OA，b=OB，则ba−=BA由余弦定理，︿),(cos||||2||||||222ba⋅⋅−+=OBOAOBOABA也就是︿),cos(2222ba|b||a||b||a||ba|−+=−(3.1)利用数量积的性质1和性质2，2222)()(|b|ba|a|bbabbaaababa|ba|+⋅−=⋅+⋅−⋅−⋅=−⋅−=−将它代入(3.1)，整理后，就得到︿),cos(ba|b||a|ba=⋅定理3-1具有重要的物理应用背景。设物体在力F的作用下，产生位移s，根据物理学知识，我们知道力F所做的功为θcos⋅⋅=|s||F|W现在我们可以用数量积把上述结果表达成sF⋅=W例3.1一质点在力kjiF543++=的作用下，从点)0,1,2(A移到点)2,6,4(B，求力F所做的功。解质点的位移向量是)2,5,2()02,16,24(=−−−=AB3610206)2,5,2()5,4,3(=++=⋅=⋅=sFW当力F的单位以牛顿计，位移s的单位以米计时，F所作的功为36焦耳。推论3-1若a，b均为非零向量，则有|b||a|baba⋅=︿),cos(如果非零向量a和b的夹角等于2/π，则称a和b垂直（或正交），记作ba⊥，零向量可认为是垂直于任何向量的。-6-推论3-2向量a和b相互垂直的充要条件是0=⋅ba。向量的内积是只有大小，没有方向的量，即数量，因此也称为数量积；由于x和y的内积(x,y)也经常记为x⋅y，所以又称作点积。由定义x⋅y=θcos|y||x|，其中θ为x与y的夹角。我们称θcos||y为y在x方向上的投影。因此，x和y的内积等于x的模乘以y在x方向上的投影（见图3.1）。记3R中与x轴，y轴，z轴同向的单位向量为i，j，k。对于任意向量x),,(321xxx=∈3R，我们也常记作x),,(321xxx。显然，αcos||1xix==⋅x，βcos||2xjx==⋅x，γcos||3xkx==⋅x，其中γβα,,分别为x与x轴，y轴和z轴正向的夹角。所以αcos||x，βcos||x和γcos||x分别也是x在x轴，y轴和z轴上的投影。显然，我们可以将x表为x=x1i+x2j+x3k。称(γβαcos,cos,cos)为x的方向余弦，它可以确定向量x的方向。向量的外积现在引进向量的另一种乘积运算。定义3-2设x=),,(321xxx=x1i+x2j+x3k，y=),,(321yyy=y1i+y2j+y3k∈3R，定义x×y=),,(122131132332yxyxyxyxyxyx−−−=(x2y3–x3y2)i+(x3y1–x1y3)j+(x1y2–x2y1)k，它成为x和y的外积（也称为x和y的向量积）。由于外积的运算符号是一个叉，因此又称作叉积。不难验证，x和y的外积可以用行列式形式地表示为x×y=321321yyyxxxkji。容易证明外积具有下列性质：(1)（反对称性）对于任意x，y∈3R，成立x×y=－y×x；(2)（线性性）对于任意x，y，z∈3R和λ，μ∈R，成立(λx+μy)×z=λ(x×z)+μ(y×z)；z×(λx+μy)=λ(z×x)+μ(z×y)；(3)（外积的模长）对于任意x、y∈3R，成立|x×y|=|x||y|sinθ，其中θ（πθ≤≤0）是x和y的夹角。如果两个向量的夹角为0或π，我就称这两个向量平行。因此x//y的充分必要条件是x×y=0。将上式展开来即得(x2y3–x3y2)i