2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题(完整版)凯程首发

凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第1页共15页2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题（完整版）凯程首发下面凯程老师把2016年的真题全面展示给大家，供大家估分使用，以及2017年考研的同学使用，本试题凯程首发，转载注明出处。一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若反常积分011badxxx收敛，则（）11111111AabBabCaabDaab且且且且【答案】（C）【解析】01(1)abdxxx10111(1)(1)ababdxdxxxxx101pdxx在（1p时收敛），可知1a，而此时(1)bx不影响同理，1111(1)11bababdxdxxxxx11pdxx（1p时收敛），而此时11bx不影响（2）已知函数21,1ln,1xxfxxx，则fx的一个原函数是（）22221,11,1ln1,1ln11,11,11,1ln11,1ln11,1xxxxAFxBFxxxxxxxxxxxCFxDFxxxxxxx【答案】（D）凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第2页共15页【解析】由已知可得，()()(ln)xCxFxxxCx21111111，取C10，故选D（3）若22222211,11yxxyxx是微分方程ypxyqx的两个解，则qx（）2222313111xxAxxBxxCDxx【答案】（A）【解析】yyx21221是一阶齐次微分方程()ypxy0的解，代入得()()xpxxx2222101，所以()xpxx21，根据解的性质得，yy122是()()ypxyfx的解。所以有()()qxxx231.（4）已知函数,0111,,1,2,1xxfxxnnnn，则（）（A）0x是fx的第一类间断点（B）0x是fx的第二类间断点（C）fx在0x处连续但不可导（D）fx在0x处可导【答案】（D）【解析】由于()limxxfx0001，()limnnfn10011,故选D。（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似【答案】（C）【解析】此题是找错误的选项。由A与B相似可知，存在可逆矩阵,P使得1PAPB，则111111111111111111(1)()()~,A(2)()~(3)()~,TTTTTTTTPAPBPAPBABPAPBPAPBABBPAAPPAPPAPBBAABBD故（）不选；，故（）不选；故（）不选；凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第3页共15页此外，在（C）中，对于111()TTPAAPPAPPAP，若1=PAPB，则1()TTTTPAPB，而1TPAP未必等于TB，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。（6）设二次型222123123121323,,444fxxxxxxxxxxxx，则123,,2fxxx在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（D）柱面【答案】（B）【解析】对于二次型222123123121323,,444fxxxxxxxxxxxx，其矩阵为122212221A，接下来由0EA，可得其特征值为1235,1（一正两负），因此其正惯性指数和负惯性指数分别为1,2.故二次型123,,fxxx的规范形为222123fzzz，即22222231212322221(2)(2)(2)zzzzzz，对应的曲面为双叶双曲面。（7）设随机变量0,~2NX，记2XPp，则（）（A）p随着的增加而增加（B）p随着的增加而增加（C）p随着的增加而减少（D）p随着的增加而减少【答案】（B）【解析】2{}{}XPXP所以概率随着的增大而增大。（8）随机试验E有三种两两不相容的结果321,,AAA，且三种结果发生的概率均为31，将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果1A发生的次数，Y表示2次试验中结果2A发生的次数，则X与Y的相关系数为（）【解析】11(2,),(2,)33XBYB24,39EXEYDXDY，211(1,1)9EXYPXY凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第4页共15页所以12XYEXYEXEYDXDY二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）__________cos1sin1lnlim200xdttttxx【答案】21【解析】ln(sin)limxxxxx301122（10）向量场zkxyjizyxzyxA,,的旋度_________rotA【答案】1,1,0y【解析】由旋度公式得，(A),,,,RQPRQProtyyzzxxy01111、设函数(,)fuv可微，(,)zzxy有方程()(,)xzyxfxzy221确定，则,____dz01．【答案】dydx2【解析】()(,)xxyxfxzy221两边分别关于,xy求导得()(,)(,)()()((,)()(,))xxyyzxzxfxzyxfxzyzxzyxfxzyzfxzy2121212112，将,,xyz011代入得，,dzdxdy012（12）设函数21arctanaxxxxf，且10''f，则________a【答案】21（13）行列式1000100014321____________.【答案】432234凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第5页共15页【解析】4143210010100010=01+4110++2+3+4.00132+101432+1（-）（14）设12,,...,nxxx为来自总体2,N的简单随机样本，样本均值9.5x，参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.【答案】8.10,2.8【解析】0.0250.0250.0250.025{}{}0.95xuPuuPxuuxunnn因为0.02510.8xun，所以0.0251.3,un所以置信下限0.0258.2xun.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域,221cos,22Drr，计算二重积分Dxdxdy.【答案】3325【解析】223cos1222222cos123coscosdrdrrddxdyxD22422322222432cos38cos8cos8coscos3cos338dddd22222232222322222cossin338|3sinsin8|22sin4sincos38sinsin18212cos8dddd凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第6页共15页33252sin23324222d（16）（本题满分10分）设函数()yx满足方程'''20,yyky其中01k.证明：反常积分0()yxdx收敛；若'(0)1,(0)1,yy求0()yxdx的值.【答案】k3【解析】（1）特征方程为220rrk，由01k可知，特征方程有两个不相同的特征根，1,2244112krk且1,20r，由二阶常系数齐次线性方程的求解可知，1212()rxrxyxCeCe121200()rxrxyxdxCeCedx121200rxrxCedxCedx121212lim1lim1rxrxxxCCeerr由于1,20r12012()CCyxdxrr极限存在，故收敛.(2)由1212()rxrxyxCeCe，(0)1,'(0)1yy可知，1211221,21111CCCrCrrk解得1212CC代入12012()CCyxdxrr可知0()yxdx1kk凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第7页共15页（17）（本题满分10分）设函数(,)fxy满足2(,)(21),xyfxyxex且(0,)1,tfyyL是从点(0,0)到点(1,)t的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tLfxyfxyItdxdyxy，并求()It的最小值【答案】3【解析】(1)由2(,)(21)xyfxyxex可知：2(,)[(21)]xyfxyxedx22[2]yxxexedxedx2()yxexey2()xyxey又(0,)1fyy可知()1yy因此2(,)1xyfxyxey2(,)1xyfxyxey22()(21)(1)xyxyLtItxedxxedy2(21)xyPxe21xyQxe2(21)xyPxey222xyxyQexexPQyx因此，积分与路径无关22()(21)(1)xyxyLtItxedxxedy12200(21)(1)txyxedxedy222tetee凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第8页共15页2tte(2)2()tItte2()1tIte()0It可知2t有唯一驻点2()tIte(2)10I因此2t时()It有最小值22(2)2213Ie（18）设有界区域由平面222zyx与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分zdxdyydzdxdydzxI3212【答案】21【解析】2(1)23Ixdydzydzdxzdxdy21,2,3PxQyRz由高斯公式可知，223Ixdxdydz21xdxdydz120(21)xyyxDdxdyxdz222xyDyxxxydxdy11220022xydxxxxydy凯程考研集训营，为学生引